网站建设现况分析,网站备案号在哪里,网站内容完全改变被k,seo是什么赋范线性空间三 文章目录 赋范线性空间三三、内积空间3.1 内积空间的定义和性质【定义】内积【定理】内积的性质——Schwarz不等式【定义】有内积导出的范数【定理】内积、由内积导出的范数 的性质 3.2 正交与正交系【定义】正交、正交补【定理】勾股定理在内积空间中的推广【定…赋范线性空间三 文章目录 赋范线性空间三三、内积空间3.1 内积空间的定义和性质【定义】内积【定理】内积的性质——Schwarz不等式【定义】有内积导出的范数【定理】内积、由内积导出的范数 的性质 3.2 正交与正交系【定义】正交、正交补【定理】勾股定理在内积空间中的推广【定义】正交系、标准正交系【定理】Bessel 不等式标准正交系推出的性质【定义】完全系【定理】完全系的等价描述【定理】Gram-Schmidt 正交化【定理】可分的Hilbert空间必存在完全的标准正交系【定义】内积空间的同构【定理】任何可分[^3]的无穷维Hilbert空间都与 l² 等距同构 三、内积空间
赋范线性空间是定义了向量长度的线性空间但有时还会对向量的夹角感兴趣因此引入内积。
3.1 内积空间的定义和性质
内积同样可以自行定义但应满足以下基本条件
【定义】内积 设 X X X 是数域 F F F 实数域or复数域上的线性空间若映射 ⋅ , ⋅ : X × X → F \cdot,\cdot:X\times X\to F ⋅,⋅:X×X→F 满足 ∀ x , y , z ∈ X , α , β ∈ F \forall x,y,z\in X,\alpha,\beta\in F ∀x,y,z∈X,α,β∈F 正定性 x , x ≥ 0 x,x\geq0 x,x≥0取等号当且仅当 x 0 x0 x0共轭对称性 x , y y , x ‾ x,y\overline{y,x} x,yy,x这里的共轭指复数的共轭第一变元线性性 α x β y , z α x , z β y , z \alpha x\beta y,z\alphax,z\betay,z αxβy,zαx,zβy,z其中 α , β ∈ F \alpha,\beta\in F α,β∈F 【定理】内积的性质——Schwarz不等式 ∣ x , y ∣ ≤ x , x y , y |x,y|\leq\sqrt{x,x}\sqrt{y,y} ∣x,y∣≤x,x y,y 【定义】有内积导出的范数 设 X X X 为内积空间 ∀ x ∈ X \forall x\in X ∀x∈X记 ∥ x ∥ x , x \|x\|\sqrt{x,x} ∥x∥x,x 称 ∥ ⋅ ∥ \|\cdot\| ∥⋅∥ 为由 X X X 上的内积导出来的范数 【定理】内积、由内积导出的范数 的性质 设 X X X 为内积空间 x , y ∈ X x,y\in X x,y∈X则对于内积和由内积导出的范数有 平行四边形公式 ∥ x y ∥ 2 ∥ x − y ∥ 2 2 ( ∥ x ∥ 2 ∥ y ∥ 2 ) \|xy\|^2\|x-y\|^22(\|x\|^2\|y\|^2) ∥xy∥2∥x−y∥22(∥x∥2∥y∥2) 极化恒等式 当 X X X 为实内积空间时 x , y 1 4 ( ∥ x y ∥ 2 − ∥ x − y ∥ 2 ) x,y\frac14(\|xy\|^2-\|x-y\|^2) x,y41(∥xy∥2−∥x−y∥2) 当 X X X 为复内积空间时 x , y 1 4 ( ∥ x y ∥ 2 − ∥ x − y ∥ 2 i ∥ x i y ∥ 2 − i ∥ x − i y ∥ 2 ) x,y\frac14(\|xy\|^2-\|x-y\|^2i\|xiy\|^2-i\|x-iy\|^2) x,y41(∥xy∥2−∥x−y∥2i∥xiy∥2−i∥x−iy∥2) 3.2 正交与正交系
有了内积的定义空间中就有了夹角的概念相应的也就有了正交这样的几何概念
【定义】正交、正交补 设 X X X 为内积空间 x , y ∈ X x,y\in X x,y∈X若 x , y 0 x,y0 x,y0则称 x x x 与 y y y 是正交的记为 x ⊥ y x\perp y x⊥y 设 X , Y ⊂ X X,Y\subset X X,Y⊂X若 ∀ x ∈ A , y ∈ B \forall x\in A,y\in B ∀x∈A,y∈B有 x ⊥ y x\perp y x⊥y就称 A A A 与 B B B 正交记为 A ⊥ B A\perp B A⊥B特别的 { x } ⊥ B \{x\}\perp B {x}⊥B 记为 x ⊥ B x\perp B x⊥B 记 A ⊥ { x ∣ x ⊥ A } A^{\perp}\{x|x\perp A\} A⊥{x∣x⊥A}称 A ⊥ A^\perp A⊥ 为 A A A 的正交补 【定理】勾股定理在内积空间中的推广 设 X X X 为内积空间 x , y ∈ X x,y\in X x,y∈X x ⊥ y x\perp y x⊥y则有 ∥ x y ∥ 2 ∥ x ∥ 2 ∥ y ∥ 2 \|xy\|^2\|x\|^2\|y\|^2 ∥xy∥2∥x∥2∥y∥2 对任意有限个相互正交的元素有 ∥ ∑ i 1 n x i ∥ 2 ∑ i 1 n ∥ x i ∥ 2 \left\|\sum_{i1}^n x_i\right\|^2\sum_{i1}^n \left\|x_i\right\|^2 i1∑nxi 2i1∑n∥xi∥2 【定义】正交系、标准正交系 设 X 为内积空间 E { e i ∣ i ∈ I } E\{e_i|i\in I\} E{ei∣i∈I} 为一簇非零元素其中 I I I 为某一非空集合 若其中任意两元素均正交则称 E E E 为 X X X 中的正交系若还满足 ∀ e i ∈ E \forall e_i\in E ∀ei∈E ∥ e i ∥ 1 \|e_i\|1 ∥ei∥1则称 E E E 为标准正交系 【定理】Bessel 不等式标准正交系推出的性质 设 X 为内积空间 E { e i ∣ i ∈ Z } E\{e_i|i\in\mathbb{Z}_ \} E{ei∣i∈Z} 为标准正交系则 ∀ x ∈ X \forall x\in X ∀x∈X有 ∥ x ∥ 2 ≥ ∑ i 1 ∞ ∣ x , r i ∣ 2 \|x\|^2\geq\sum_{i1}^\infty|x,r_i|^2 ∥x∥2≥i1∑∞∣x,ri∣2 【定义】完全系 设 X 为内积空间 E { e i ∣ i ∈ Z } E\{e_i|i\in\mathbb{Z}_ \} E{ei∣i∈Z} 为标准正交系若只有零元与一切 e i ∈ E e_i\in E ei∈E 都正交则称 E E E 是个完全系 【定理】完全系的等价描述 设 X X X 是 Hilbert 空间1 E { e i ∣ i ∈ Z } E\{e_i|i\in\mathbb{Z}_ \} E{ei∣i∈Z} 为标准正交系则下列说法等价 E E E 是完全系 ∀ x ∈ X \forall x\in X ∀x∈X x ∑ i 1 ∞ x , e i e i x\sum_{i1}^{\infty}x,e_ie_i x∑i1∞x,eieiParseval 等式成立即 ∀ x ∈ X \forall x\in X ∀x∈X有 ∥ x ∥ 2 ∑ i 1 ∞ ∣ x , e i ∣ 2 \|x\|^2\sum_{i1}^\infty|x,e_i|^2 ∥x∥2∑i1∞∣x,ei∣2 【定理】Gram-Schmidt 正交化 设 B { x n ∣ n ∈ Z } B\{x_n|n\in \mathbb{Z}_\} B{xn∣n∈Z} 是内积空间 X X X 的可数子集则存在标准正交系 E { e n ∣ n ∈ Z } E\{e_n|n\in\mathbb{Z}_ \} E{en∣n∈Z} 使得 s p a n B s p a n E spanBspanE spanBspanE2 【定理】可分的Hilbert空间必存在完全的标准正交系 设 X X X 是可分3的Hilbert空间则 X X X 中必存在完全的标准正交系 【定义】内积空间的同构 设 X , Y X,Y X,Y 是同一数域上的内积空间 T T T 是 X X X 到 Y Y Y 的线性同构映射 若 T T T 还保持内积即 ∀ x , y ∈ X \forall x,y\in X ∀x,y∈X T x , T y x , y Tx,Tyx,y Tx,Tyx,y 则称 T T T 为内积空间上的同构映射称 X , Y X,Y X,Y 作为内积空间是同构的 【定理】任何可分3的无穷维Hilbert空间都与 l² 等距同构 【Hilbert空间】备的内积空间称为Hilbert空间 ↩︎ 【span】线性空间内所有元素对于加法、数乘封闭这些元素所有可能的线性组合记作 S p a n Span Span ↩︎ 【可分】设 A , B A,B A,B 为度量空间 X X X 中的子集若 B ⊂ A ‾ B\subset\overline A B⊂A 就称 A A A 在 B B B 中稠密若一个可数集 A A A 在 X X X 中稠密则称 X X X 是可分的。 ↩︎ ↩︎
