网站头图设计,wordpress离线字体,衣服定制app,十大免费数据网站四平方和
题目描述
四平方和定理#xff0c;又称为拉格朗日定理#xff1a; 每个正整数都可以表示为至多 4 个正整数的平方和。如果把 0 包括进去#xff0c;就正好可以表示为 4 个数的平方和。 比如#xff1a; 502021222 712121222; 对于一个给定的正整数#xff0c;可…四平方和
题目描述
四平方和定理又称为拉格朗日定理 每个正整数都可以表示为至多 4 个正整数的平方和。如果把 0 包括进去就正好可以表示为 4 个数的平方和。 比如 502021222 712121222; 对于一个给定的正整数可能存在多种平方和的表示法。
要求你对 4 个数排序 0≤a≤b≤c≤d 并对所有的可能表示法按 a,b,c,d 为联合主键升序排列最后输出第一个表示法。
输入描述
程序输入为一个正整数 N(N5×106)。
输出描述
要求输出 4 个非负整数按从小到大排序中间用空格分开
输入输出样例
示例
输入12输出0 2 2 2解题思路
穷举法 对于给定的正整数 N我们可以使用穷举法来找到所有可能的表示法。穷举法的思路是我们逐个检查所有可能的 a、b、c 和 d 值其中 a、b、c、d 都是非负整数并且满足 a≤b≤c≤d。 优化穷举范围 为了提高效率我们可以对 a、b、c 的取值范围进行优化。由于 a、b、c、d 都是非负整数并且 a≤b≤c≤d所以 a 的最大值可以取到 N 的平方根因为 a 的平方不可能大于 N。同理b 的取值范围可以从 a 开始最大值可以取到 (N - a2) 的平方根。c 的取值范围可以从 b 开始最大值可以取到 (N - a2 - b2) 的平方根。 计算 d 的值 在确定了 a、b、c 的值之后我们可以计算 d 的值。d 的值是 (N - a2 - b2- c2) 的平方根并且 d 必须是一个整数。 检查是否满足条件 如果 a2 b2 c2 d2 等于 N那么我们就找到了一个满足条件的表示法。由于我们按照从小到大的顺序进行穷举所以找到的第一个表示法就是最小的表示法。 输出结果 最后我们将找到的四个数按照从小到大的顺序输出中间用空格分隔。 复杂度分析 这个算法的时间复杂度是 O (N3/2)因为我们使用了三层嵌套循环每层循环的次数最多是 N 的平方根。这个算法在 N 的值不是很大时是可行的但是对于非常大的 N这个算法可能会非常慢。
代码实现
Python 实现
def find_four_squares(n):# 遍历所有可能的 a 值从 0 到 sqrt(n)for a in range(int(n**0.5) 1):# 遍历所有可能的 b 值从 a 到 sqrt(n - a^2)for b in range(a, int((n - a*a)**0.5) 1):# 遍历所有可能的 c 值从 b 到 sqrt(n - a^2 - b^2)for c in range(b, int((n - a*a - b*b)**0.5) 1):# 计算 d 的平方值d_squared n - a*a - b*b - c*c# 检查 d_squared 是否为非负数if d_squared 0:# 计算 d 的值d int(d_squared**0.5)# 检查 d 是否为整数if d * d d_squared:# 返回结果确保 a b c dreturn f{a} {b} {c} {d}# 如果没有找到则返回报错信息return No solution found# 输入一个正整数n
number int(input())# 获取结果并输出
result find_four_squares(number)
print(result)
JAVA实现
import java.util.Scanner;public class FourSquares {public static String findFourSquares(int n) {// 遍历所有可能的a值从0到sqrt(n)for (int a 0; a Math.sqrt(n); a) {// 遍历所有可能的b值从a到sqrt(n - a^2)for (int b a; b Math.sqrt(n - a * a); b) {// 遍历所有可能的c值从b到sqrt(n - a^2 - b^2)for (int c b; c Math.sqrt(n - a * a - b * b); c) {// 计算d的平方值int dSquared n - a * a - b * b - c * c;// 检查d_squared是否为非负数if (dSquared 0) {// 计算d的值int d (int) Math.sqrt(dSquared);// 检查d是否为整数if (d * d dSquared) {// 返回结果确保a b c dreturn a b c d;}}}}}// 如果没有找到则返回报错信息return No solution found;}public static void main(String[] args) {Scanner scanner new Scanner(System.in);// 输入一个正整数nint number scanner.nextInt();// 获取结果并输出String result findFourSquares(number);System.out.println(result);scanner.close();}
}C实现
#include iostream
#include cmath
using namespace std;string findFourSquares(int n) {// 遍历所有可能的a值从0到sqrt(n)for (int a 0; a sqrt(n); a) {// 遍历所有可能的b值从a到sqrt(n - a^2)for (int b a; b sqrt(n - a * a); b) {// 遍历所有可能的c值从b到sqrt(n - a^2 - b^2)for (int c b; c sqrt(n - a * a - b * b); c) {// 计算d的平方值int dSquared n - a * a - b * b - c * c;// 检查d_squared是否为非负数if (dSquared 0) {// 计算d的值int d (int)sqrt(dSquared);// 检查d是否为整数if (d * d dSquared) {// 返回结果确保a b c dreturn to_string(a) to_string(b) to_string(c) to_string(d);}}}}}// 如果没有找到则返回报错信息return No solution found;
}int main() {int number;cin number;// 获取结果并输出string result findFourSquares(number);cout result endl;return 0;
}C实现
#include stdio.h
#include stdlib.h
#include math.h// 函数用于查找四个平方数之和等于给定数n的四个整数
char* findFourSquares(int n) {static char result[50]; // 用于存储最终结果字符串足够长以容纳结果和提示信息for (int a 0; a (int)sqrt(n); a) {for (int b a; b (int)sqrt(n - a * a); b) {for (int c b; c (int)sqrt(n - a * a - b * b); c) {int dSquared n - a * a - b * b - c * c;if (dSquared 0) {int d (int)sqrt(dSquared);if (d * d dSquared) {// 格式化拼接结果字符串sprintf(result, %d %d %d %d, a, b, c, d);return result;}}}}}// 如果没找到将提示信息存入结果字符串sprintf(result, No solution found);return result;
}int main() {int number;scanf(%d, number);char* output findFourSquares(number);printf(%s\n, output);return 0;
}运行结果 12
0 2 2 2
