网站建设氵金手指下拉,哪些网站可以接工程做,wordpress导入pdf,wordpress 分词3.5 基#xff0c;维数与坐标 \quad 本节#xff0c;继续研究线性空间的结构。一般地#xff0c;设 V V V 是数域 K K K 上的一个线性空间。 \quad 首先#xff0c;我们先将“线性相关”与“线性无关”的概念由“有限”向“无限”推广。 对比其它高等代数教程#xff0c…3.5 基维数与坐标 \quad 本节继续研究线性空间的结构。一般地设 V V V 是数域 K K K 上的一个线性空间。 \quad 首先我们先将“线性相关”与“线性无关”的概念由“有限”向“无限”推广。 对比其它高等代数教程邱老师在这一节非常巧妙的将“有限维”与“无限维”统一在了一起 定义 1. 线性空间子集的线性相关与线性无关 1 V V V 的一个有限子集 { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1,α2,⋯,αs} 线性相关 : ⟺ :\Longleftrightarrow :⟺ 向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,⋯,αs 线性相关 2 V V V 的一个有限子集 { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1,α2,⋯,αs} 线性无关 : ⟺ :\Longleftrightarrow :⟺ 向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α s \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s} α1,α2,⋯,αs 线性无关 3 V V V 的一个无限子集 S S S 线性相关 : ⟺ :\Longleftrightarrow :⟺ 存在 S S S 的一个有限子集线性相关 4 V V V 的一个无限子集 S S S 线性无关 : ⟺ :\Longleftrightarrow :⟺ S S S 的任一个有限子集都线性无关。
例 1平面 π \pi π 上的任意两个不共面的向量可成为该平面的一个基。
定义 2. 极大线性无关集与基设 V V V 是数域 K K K 上的一个线性空间。 V V V 的一个子集 S S S 如果满足 1 S S S 是线性无关的 2对于 ∀ β ∈ V \ S \forall ~ \boldsymbol{\beta} \in V \backslash S ∀ β∈V\S如果还有的话有 S ∪ { β } S \cup \{\boldsymbol{\beta}\} S∪{β} 线性相关 则称 S S S 为 V V V 的一个 极大线性无关集。 \quad 可以看到“极大线性无关集”的概念以及与“基”相近了不过我们需要排除一些意外情况比如 V { 0 } V \{\boldsymbol{0}\} V{0}. \quad 由 前一节 的讨论我们知道 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 是线性相关的因此若 V ≠ { 0 } V \ne \{\boldsymbol{0}\} V{0}则称 V V V 的一个极大线性无关集为 V V V 的一个 基。 \quad 如果将上述定义推广到 V { 0 } V \{\boldsymbol{0}\} V{0} 的情形则需要做一些规定空集 ϕ \phi ϕ 是线性无关的。之后再进行分析若 V { 0 } V \{\boldsymbol{0}\} V{0}由于 1 ϕ \phi ϕ 是线性无关的 2对于 0 ∈ V \ ϕ \boldsymbol{0} \in V \backslash \phi 0∈V\ϕ有 ϕ ∪ { 0 } { 0 } \phi \cup \{\boldsymbol{0}\} \{\boldsymbol{0}\} ϕ∪{0}{0} 线性相关 由 定义 2 ϕ \phi ϕ 是 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 的一个极大线性无关集此时我们称 ϕ \phi ϕ 是 V V V 的一个基。 简单来讲若规定“空集是线性无关的”则线性空间的一个极大线性无关集就是其的一个基。定义 2 是合理的但我们一般不会采用这个定义因为这个定义比较抽象不太直观。 定义 3. 基设 V V V 是数域 K K K 上的一个线性空间。 V V V 的一个子集 S S S 若满足 1 S S S 是线性无关的 2 V V V 中的任一向量可由 S S S 中的有限多个向量线性表出 则称 S S S 是 V V V 的一个 基。 \quad 另外 1若 S { α 1 , α 2 , ⋯ , α r } S \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r}\} S{α1,α2,⋯,αr}即 S S S 为有限集也称向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α r \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r} α1,α2,⋯,αr 是 V V V 的一个有序基 2规定 ϕ \phi ϕ 是线性无关的 3规定线性空间 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 的一个基是 ϕ \phi ϕ。 \quad 相较于定义 2在定义 3 的基础上只能规定线性空间 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 的一个基是 ϕ \phi ϕ而由定义 2 是可以直接推出的。 \quad 现在思考一个问题是否任一个线性空间都有基答案是肯定的详情请参见 高等代数——大学创新教材下册 P 158 ∼ P 159 P_{158}\sim P_{159} P158∼P159。
定义 4. 有限维与无限维 1若 V V V 有一个基是 V V V 的有限子集则称 V V V 是 有限维的 2若 V V V 有一个基是 V V V 的无限子集则称 V V V 是 无限维的。
定理 1若 V V V 是有限维的则 V V V 的任意两个基所含个数相等。
证明 \quad 一般地设向量组 { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,α2,⋯,αn} 是 V V V 的一个基任取 V V V 的另一个基 S S S
1若 S S S 所含的向量个数 n n n则在 S S S 中至少可取 n 1 n1 n1 个向量 β 1 , β 2 , ⋯ , β n 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n1} β1,β2,⋯,βn1。显然向量组 { β 1 , β 2 , ⋯ , β n 1 } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n1}\} {β1,β2,⋯,βn1} 可由向量组 { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1,α2,⋯,αs} 线性表出由于 n 1 n n1n n1n因此 β 1 , β 2 , ⋯ , β n 1 \boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n1} β1,β2,⋯,βn1 线性相关从而产生矛盾。
2设 S S S 中所含向量的个数 ≤ n \le n ≤n不妨设为 m m m。显然有 { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } ≅ { β 1 , β 2 , ⋯ , β m } , \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} \cong \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{m}\}, {α1,α2,⋯,αn}≅{β1,β2,⋯,βm},
等价的线性无关的向量组所含向量的个数相等因此 m n mn mn.
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推论若 V V V 是无限维的则 V V V 的任意一个基都是无限维的。
定义 5. 维数 1若 V V V 是有限维的则称 V V V 的一个基所含向量的个数为 V V V 的 维数。记作 dim V \dim V dimV。 2若 V V V 是无限维的则将 V V V 的维数记作 dim V ∞ \dim V \infty dimV∞。 3若 V { 0 } V \{\boldsymbol{0}\} V{0}则 dim V 0 \dim V 0 dimV0。
命题 1设 V V V 是 n n n 维的则 V V V 中任意 n 1 n1 n1 个向量都线性相关。
命题 2设 dim V n \dim V n dimVn S { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } S \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} S{α1,α2,⋯,αn} 是 V V V 的一个基则 V V V 中任一向量 α a 1 α 1 ⋯ a n α n \boldsymbol{\alpha} a_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}\cdots a_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n} αa1α1⋯anαn 的表出方式唯一。
定义 6. 坐标设 dim V n \dim V n dimVn { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,α2,⋯,αn} 是 V V V 的一个基向量 α a 1 α 1 ⋯ a n α n ∈ V \boldsymbol{\alpha} a_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}\cdots a_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n} \in V αa1α1⋯anαn∈V则称 α \boldsymbol{\alpha} α 的 坐标 为 ( a 1 a 2 ⋮ a n ) \left( \begin{array}{c} \boldsymbol{a}_1\\ \boldsymbol{a}_2\\ \vdots\\ \boldsymbol{a}_n\\ \end{array} \right) a1a2⋮an
命题 3设 dim V n \dim V n dimVn则 V V V 中任意 n n n 个线性无关的向量都是 V V V 的一个基。
命题 4设 dim V n \dim V n dimVn若 V V V 中任一向量可由向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,⋯,αn 线性表出则集合 { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1,α2,⋯,αn} 是 V V V 的一个基。
命题 5设 dim V n \dim V n dimVn则 V V V 的任意一个线性无关的向量组都能扩充成 V V V 的一个基。
命题 6设 dim V n \dim V n dimVn W W W 是 V V V 的一个子空间则 dim W ≤ dim V \dim W \le \dim V dimW≤dimV。
命题 7向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,⋯,αn 的一个极大线性无关组是 α 1 , α 2 , ⋯ , α n \boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n} α1,α2,⋯,αn 的一个基。
命题 8关于向量组的生成子空间我们有 ( α 1 , α 2 , ⋯ , α s β 1 , β 2 , ⋯ , β t ) ⟺ ( { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } ≅ { β 1 , β 2 , ⋯ , β t } ) \left( \boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots ,\boldsymbol{\alpha }_s\boldsymbol{\beta }_1,\boldsymbol{\beta }_2,\cdots ,\boldsymbol{\beta }_t \right) \,\,\Longleftrightarrow \left( \left\{ \boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots ,\boldsymbol{\alpha }_s \right\} \cong \left\{ \boldsymbol{\beta }_1,\boldsymbol{\beta }_2,\cdots ,\boldsymbol{\beta }_t \right\} \right) (α1,α2,⋯,αsβ1,β2,⋯,βt)⟺({α1,α2,⋯,αs}≅{β1,β2,⋯,βt})
