怎么做注册账号的网站,做网站想要个计算器功能,网站备案修改域名,wordpress页头铺不满文章目录 一、不定积分的概念与基本性质1.1 原函数与不定积分的基本概念1.2 不定积分的基本性质 二、不定积分基本公式与积分法2.1 不定积分基本公式2.2 不定积分的积分法2.2.1 换元积分法2.2.2 分部积分法 三、两类重要函数的不定积分——有理函数与三角有理函数3.1 有理函数的… 文章目录 一、不定积分的概念与基本性质1.1 原函数与不定积分的基本概念1.2 不定积分的基本性质 二、不定积分基本公式与积分法2.1 不定积分基本公式2.2 不定积分的积分法2.2.1 换元积分法2.2.2 分部积分法 三、两类重要函数的不定积分——有理函数与三角有理函数3.1 有理函数的积分3.2 三角有理函数的不定积分 一、不定积分的概念与基本性质
1.1 原函数与不定积分的基本概念
划重点
连续函数一定存在原函数反之不对。有第一类间断点的函数一定不存在原函数但有第二肋间断点的函数可能有原函数。若f(x)有原函数则它一定有无数个原函数且任意两个原函数之间相差常数。偶函数的原函数不一定是奇函数奇函数的原函数一定是偶函数。
1.2 不定积分的基本性质 ∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x \int[f(x) ± g(x)]dx ∫[f(x)±g(x)]dx ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x \int f(x)dx ± \int g(x)dx ∫f(x)dx±∫g(x)dx ∫ k f ( x ) d x \int kf(x)dx ∫kf(x)dx k ∫ f ( x ) d x \int f(x)dx ∫f(x)dxk ≠ 0
二、不定积分基本公式与积分法
2.1 不定积分基本公式
不定积分原函数 ∫ k d x \int kdx ∫kdxkx C ∫ x a d x \int x\ ^adx ∫x adx 1 a 1 x a 1 \frac{1}{a 1}x\ ^{a 1} a11x a1 C ∫ 1 x d x \int \frac{1}{x}dx ∫x1dxln|x| Cx ≠ 0 ∫ a x d x \int a\ ^xdx ∫a xdx a x l n a \frac{a\ ^x}{ln a} lnaa x Ca 0a ≠ 1 ∫ e x d x \int e\ ^xdx ∫e xdxex C ∫ s i n x d x \int sin xdx ∫sinxdx-cos x C ∫ c o s x d x \int cos xdx ∫cosxdxsin x C ∫ t a n t x d x \int tant xdx ∫tantxdx-ln|cos x| C ∫ c o t x d x \int cot xdx ∫cotxdxln|sin x| C ∫ s e c x d x \int sec xdx ∫secxdxln|sec x tan x| C ∫ c s c x d x \int csc xdx ∫cscxdxln|csc x - cot x| C ∫ s e c 2 x d x \int sec\ ^2xdx ∫sec 2xdxtan x C ∫ c s c 2 x d x \int csc\ ^2xdx ∫csc 2xdx-cot x C ∫ s e c x t a n x d x \int sec xtan xdx ∫secxtanxdxsec x C ∫ c s c x c o t x d x \int csc xcot xdx ∫cscxcotxdx-csc x C ∫ d x 1 − x 2 \int \frac{dx}{\sqrt[]{1 - x\ ^2}} ∫1−x 2 dxarcsin x C ∫ d x a 2 − x 2 \int \frac{dx}{\sqrt[]{a\ ^2 - x\ ^2}} ∫a 2−x 2 dxarcsin x a \frac{x}{a} ax Ca 0 ∫ d x 1 x 2 \int \frac{dx}{1 x\ ^2} ∫1x 2dxarctan x C ∫ d x a 2 x 2 \int \frac{dx}{a\ ^2 x\ ^2} ∫a 2x 2dx 1 a a r c t a n x a \frac{1}{a}arctan\frac{x}{a} a1arctanax Ca ≠ 0 ∫ d x x 2 − a 2 \int \frac{dx}{x\ ^2 - a\ ^2} ∫x 2−a 2dx 1 2 a l n ∣ x − a x a ∣ \frac{1}{2a}ln|\frac{x - a}{x a}| 2a1ln∣xax−a∣ Ca ≠ 0 ∫ d x x 2 a 2 \int \frac{dx}{\sqrt[]{x\ ^2 a\ ^2}} ∫x 2a 2 dxln(x x 2 a 2 \sqrt[]{x\ ^2 a\ ^2} x 2a 2 ) C ∫ d x x 2 − a 2 \int \frac{dx}{\sqrt[]{x\ ^2 - a\ ^2}} ∫x 2−a 2 dxln|x x 2 − a 2 \sqrt[]{x\ ^2 - a\ ^2} x 2−a 2 \ C ∫ a 2 − x 2 d x \int \sqrt[]{a\ ^2 - x\ ^2}dx ∫a 2−x 2 dx a 2 2 a r c s i n x a x 2 a 2 − x 2 \frac{a\ ^2}{2}arcsin\frac{x}{a} \frac{x}{2}\sqrt[]{a\ ^2 - x\ ^2} 2a 2arcsinax2xa 2−x 2 Ca 0
2.2 不定积分的积分法
2.2.1 换元积分法
第一类换元积分法凑微分法
设f(u)的原函数为F(u)且u φ(x)为可导函数则 ∫ f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) d x \int f[φ(x)]φ(x)dx ∫f[φ(x)]φ′(x)dx ∫ f [ φ ( x ) ] d [ φ ( x ) ] \int f[φ(x)]d[φ(x)] ∫f[φ(x)]d[φ(x)] ∫ f ( u ) d u \int f(u)du ∫f(u)du F(u) C F[φ(x)] C。
以下凑微分法需要熟练掌握
原积分凑微分法 ∫ f ( a x n b ) x n − 1 d x \int f(ax\ ^n b)x\ ^{n - 1}dx ∫f(ax nb)x n−1dx 1 n a ∫ f ( a x n b ) d ( a x n b ) \frac{1}{na}\int f(ax\ ^n b)d(ax\ ^n b) na1∫f(ax nb)d(ax nb) ∫ f ( x ) 2 x d x \int \frac{f(\sqrt[]{x})}{2\sqrt[]{x}}dx ∫2x f(x )dx ∫ f ( x ) d x \int f(\sqrt[]{x})d\sqrt[]{x} ∫f(x )dx ∫ 1 x 2 f ( 1 x ) d x \int \frac{1}{x\ ^2}f(\frac{1}{x})dx ∫x 21f(x1)dx- ∫ f ( 1 x ) d ( 1 x ) \int f(\frac{1}{x})d(\frac{1}{x}) ∫f(x1)d(x1) ∫ e x f ( e x ) d x \int e\ ^xf(e\ ^x)dx ∫e xf(e x)dx ∫ f ( e x ) d ( e x ) \int f(e\ ^x)d(e\ ^x) ∫f(e x)d(e x) ∫ f ( l n x ) x d x \int \frac{f(ln x)}{x}dx ∫xf(lnx)dx ∫ f ( l n x ) d ( l n x ) \int f(ln x)d(ln x) ∫f(lnx)d(lnx) ∫ ( 1 − 1 x 2 ) f ( x 1 x ) d x \int (1 - \frac{1}{x\ ^2})f(x \frac{1}{x})dx ∫(1−x 21)f(xx1)dx ∫ f ( x 1 x ) d ( x 1 x ) \int f(x \frac{1}{x})d(x \frac{1}{x}) ∫f(xx1)d(xx1) ∫ ( 1 1 x 2 ) f ( x − 1 x ) d x \int (1 \frac{1}{x\ ^2})f(x - \frac{1}{x})dx ∫(1x 21)f(x−x1)dx ∫ f ( x − 1 x ) d ( x − 1 x ) \int f(x - \frac{1}{x})d(x - \frac{1}{x}) ∫f(x−x1)d(x−x1) ∫ ( 1 l n x ) f ( x l n x ) d x \int (1 ln x)f(xln x)dx ∫(1lnx)f(xlnx)dx ∫ f ( x l n x ) d ( x l n x ) \int f(xln x)d(xln x) ∫f(xlnx)d(xlnx) ∫ f ( s i n x ) c o s x d x \int f(sin x)cos xdx ∫f(sinx)cosxdx ∫ f ( s i n x ) d ( s i n x ) \int f(sin x)d(sin x) ∫f(sinx)d(sinx) ∫ f ( c o s x ) s i n x d x \int f(cos x)sin xdx ∫f(cosx)sinxdx- ∫ f ( c o s x ) d ( c o s x ) \int f(cos x)d(cos x) ∫f(cosx)d(cosx) ∫ f ( t a n x ) s e c 2 x d x \int f(tan x)sec\ ^2xdx ∫f(tanx)sec 2xdx ∫ f ( t a n x ) d ( t a n x ) \int f(tan x)d(tan x) ∫f(tanx)d(tanx) ∫ f ( c o t x ) c s c 2 x d x \int f(cot x)csc\ ^2xdx ∫f(cotx)csc 2xdx- ∫ f ( c o t x ) d ( c o t x ) \int f(cot x)d(cot x) ∫f(cotx)d(cotx) ∫ f ( s e c x ) s e c x t a n x d x \int f(sec x)sec xtan xdx ∫f(secx)secxtanxdx ∫ f ( s e c x ) d ( s e c x ) \int f(sec x)d(sec x) ∫f(secx)d(secx) ∫ f ( c s c x ) c s c x c o t x d x \int f(csc x)csc xcot xdx ∫f(cscx)cscxcotxdx- ∫ f ( c s c x ) d ( c s c x ) \int f(csc x)d(csc x) ∫f(cscx)d(cscx) ∫ f ( a r c s i n x ) 1 − x 2 d x \int \frac{f(arcsin x)}{\sqrt[]{1 - x\ ^2}}dx ∫1−x 2 f(arcsinx)dx ∫ f ( a r c s i n x ) d ( a r c s i n x ) \int f(arcsin x)d(arcsin x) ∫f(arcsinx)d(arcsinx) ∫ f ( a r c t a n x ) 1 x 2 d x \int \frac{f(arctan x)}{1 x\ ^2}dx ∫1x 2f(arctanx)dx ∫ f ( a r c t a n x ) d ( a r c t a n x ) \int f(arctan x)d(arctan x) ∫f(arctanx)d(arctanx)
第二类换元积分法
设φ(t)单调可导且φ’(t) ≠ 0f(x)有原函数则 ∫ f ( x ) d x \int f(x)dx ∫f(x)dx ∫ f [ φ ( t ) ] φ ′ ( t ) d t \int f[φ(t)]φ(t)dt ∫f[φ(t)]φ′(t)dt ∫ g ( t ) d t \int g(t)dt ∫g(t)dt G(t) C G[ φ − 1 φ\ ^{-1} φ −1(x)] C。
当被积函数含平方和或平方差是一般采用三角代换具体换元方法为
表达式替换式 a 2 − x 2 a\ ^2 - x\ ^2 a 2−x 2令x asin t则 a 2 − x 2 a 2 c o s 2 t a\ ^2 - x\ ^2 a\ ^2cos\ ^2t a 2−x 2a 2cos 2t x 2 a 2 x\ ^2 a\ ^2 x 2a 2令x atan t则 x 2 a 2 a 2 s e c 2 t x\ ^2 a\ ^2 a\ ^2sec\ ^2t x 2a 2a 2sec 2t x 2 − a 2 x\ ^2 - a\ ^2 x 2−a 2令x asec t则 x 2 − a 2 a 2 t a n 2 t x\ ^2 - a\ ^2 a\ ^2tan\ ^2t x 2−a 2a 2tan 2t
倒数变换x 1 t \frac{1}{t} t1 遇到 x \sqrt[]{x} x 想办法转换称d( x \sqrt[]{x} x )。 2.2.2 分部积分法
设u(x)v(x)连续可导则分布积分公式为 ∫ u d v \int udv ∫udv uv - ∫ v d u \int vdu ∫vdu。
以下六种情况使用分部积分公式 ∫ x n e x d x \int x\ ^ne\ ^xdx ∫x ne xdx即被积函数为幂函数与指数函数之积。 ∫ x n l n x d x \int x\ ^nln xdx ∫x nlnxdx即被积函数为幂函数与指数函数之积。被积函数为幂函数与三角函数之积。被积函数为幂函数与反三角函数之积。被积函数为指数函数与三角函数之积。被积函数为 s e c n x sec\ ^nx sec nx或 c s c n x csc\ ^nx csc nxn为奇数。 三、两类重要函数的不定积分——有理函数与三角有理函数
3.1 有理函数的积分
有理函数的概念
设R(x) P ( x ) Q ( x ) \frac{P(x)}{Q(x)} Q(x)P(x)其中P(x)Q(x)为多项式称R(x)为有理函数。当分子多项式P(x)的次数小于分母多项式Q(x)的次数时称R(x)为真分式。否则称为假分式。
有理函数的积分法
当R(x)为真分式时将R(x)拆分成部分和的形式。当R(x)为假分式时将R(x)拆成多项式与真分式之和再将真分式拆成部分和的形式。 本题需要明确有理函数的拆分方法。拆分时需要关注x的幂次以及是单根还是重根。以本题为例说明以下拆分方法。
关注x的幂次
例如 3 x 2 x ( 1 x 2 ) \frac{3x 2}{x(1 x\ ^2)} x(1x 2)3x2可以拆分成 A x \frac{A}{x} xA B x C 1 x 2 \frac{Bx C}{1 x\ ^2} 1x 2BxC。
关注是单根还是重根
例如 x 3 3 x 2 ( 1 x ) \frac{x\ ^3 3}{x\ ^2(1 x)} x 2(1x)x 33可以拆分成 A x \frac{A}{x} xA B x 2 \frac{B}{x\ ^2} x 2B C 1 x \frac{C}{1 x} 1xC。
其实还有复数根的情况这里没有遇到暂不做介绍后续遇到会进行补充。
3.2 三角有理函数的不定积分
三角有理函数的概念
设R(x,y)为二元有理函数称R(sin x,cos x)为三角有理函数。
