广告设计软件coreldraw教程,石家庄网站seo,外贸wordpress模板,青海省住房和城乡建设网站文章目录 第3章 矩阵的初等变换与线性方程组3.1 矩阵的初等变换3.2 矩阵的秩3.3 方程组的解 第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
3.1 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等变换
对换两行#xff08;列#xff09;#xff0c;记作 r i ↔ r j ( c i … 文章目录 第3章 矩阵的初等变换与线性方程组3.1 矩阵的初等变换3.2 矩阵的秩3.3 方程组的解 第3章 矩阵的初等变换与线性方程组
3.1 矩阵的初等变换
矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等变换
对换两行列记作 r i ↔ r j ( c i ↔ c j ) r_{i} \leftrightarrow r_{j} (c_{i} \leftrightarrow c_{j}) ri↔rj(ci↔cj) 以数 k ≠ 0 k \ne 0 k0 乘某一行列中的所有元记作 r i × k c i × k r_{i} \times k c_{i} \times k ri×kci×k 把某一行列所有元的 k 倍加到另一行列对应的元上去记作 r i k r i c i k c i r_{i} kr_{i} c_{i} kc_{i} rikricikci 矩阵等价 如果矩阵 A \bm{A} A 经过优有限次初等变换变成矩阵 B \bm{B} B 就称矩阵 A \bm{A} A 与矩阵 B \bm{B} B 等价记作 A ∼ B \bm{A} \sim \bm{B} A∼B .
矩阵等价满足 A ∼ A \bm{A} \sim \bm{A} A∼A 若 A ∼ B \bm{A} \sim \bm{B} A∼B 则 B ∼ A \bm{B} \sim \bm{A} B∼A 若 A ∼ B \bm{A} \sim \bm{B} A∼B B ∼ C \bm{B} \sim \bm{C} B∼C 则 A ∼ C \bm{A} \sim \bm{C} A∼C 定理 设 A \bm{A} A与 B \bm{B} B 为 m × n m \times n m×n矩阵那么 A ∼ r B \bm{A} \overset{r}{\sim} \bm{B} A∼rB的充分必要条件是 ∃ P ( p i j ) m × m , ∣ P ∣ ≠ 0 s . t . P A B \exists \bm{P} (p_{ij})_{m \times m},~|\bm{P}| \ne 0 ~~ s.t.~\bm{P}\bm{A}\bm{B} ∃P(pij)m×m, ∣P∣0 s.t. PAB A ∼ r B \bm{A} \overset{r}{\sim} \bm{B} A∼rB的充分必要条件是 ∃ Q ( q i j ) n × n , ∣ Q ∣ ≠ 0 s . t . A Q B \exists \bm{Q} (q_{ij})_{n \times n},~|\bm{Q}| \ne 0 ~~ s.t.~\bm{A}\bm{Q}\bm{B} ∃Q(qij)n×n, ∣Q∣0 s.t. AQB A ∼ B \bm{A} \sim \bm{B} A∼B的充分必要条件是 ∃ P ( p i j ) m × m , Q ( q i j ) n × n , ∣ P ∣ ≠ 0 , ∣ Q ∣ ≠ 0 s . t . P A Q B \exists \bm{P} (p_{ij})_{m \times m},~ \bm{Q} (q_{ij})_{n \times n},~ |\bm{P}| \ne 0,~ |\bm{Q}| \ne 0 ~~ s.t.~ \bm{PAQ}\bm{B} ∃P(pij)m×m, Q(qij)n×n, ∣P∣0, ∣Q∣0 s.t. PAQB
3.2 矩阵的秩
子式 在 m × n m \times n m×n矩阵 A \bm{A} A中任取 k 行 k 列位于这些行列交叉处的 k 2 k^{2} k2 个元素不改变它们在 A \bm A A中所处的位置次序而得的 k 阶行列式称为矩阵 A \bm A A的 k 阶子式。
秩 若矩阵 A \bm A A中存在一个不为零的 r 阶子式且所有 r1 阶子式全为零那么数 r 称为矩阵 A \bm A A 的秩记作 R ( A ) R(\bm A) R(A). 规定零矩阵的秩为 0 .
矩阵的秩有以下性质 0 ≤ R ( ( a i j ) m × n ) ≤ min { m , n } R ( ( A ) T ) R ( A ) ∣ ( a i j ) n × n ∣ 0 , R ( ( a i j ) n × n ) n 0\leq R((a_{ij})_{m \times n})\leq\min\{m,n\} R((\bm A)^\mathrm T) R(\bm A) |(a_{ij})_{n \times n}|0,~ R((a_{ij})_{n \times n})n 0≤R((aij)m×n)≤min{m,n}R((A)T)R(A)∣(aij)n×n∣0, R((aij)n×n)n 若 A ∼ B \bm A\sim\bm B A∼B 则 R ( A ) R ( B ) max { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) R ( B ) R(\bm A)R(\bm B) \max\{R(\bm A),R(\bm B)\}\leq R(\bm A,\bm B)\leq R(\bm A)R(\bm B) R(A)R(B)max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)R(B) R ( A B ) ≤ R ( A ) R ( B ) R(\bm A\bm B)\leq R(\bm A)R(\bm B) R(AB)≤R(A)R(B) R ( A B ) ≤ min { R ( A ) , R ( B ) } R(\bm{AB})\leq\min\{R(\bm A),R(\bm B)\} R(AB)≤min{R(A),R(B)} 若 A m × n B n × l O \bm{A}_{m \times n}\bm{B}_{n \times l}\bm O Am×nBn×lO则 R ( A ) R ( B ) ≤ n R(\bm A)R(\bm B) \leq n R(A)R(B)≤n
3.3 方程组的解 n \bm n n 元齐次线性方程组解的判定 n 元齐次线性方程组 A x 0 \bm{Ax}\bm{0} Ax0 解的情况如下
有非零解的充分必要条件是 R ( A ) n R(\bm A)n R(A)n即 ∣ A ∣ 0 | \bm A | 0 ∣A∣0 只有零解的充分必要条件是 R ( A ) n R(\bm A)n R(A)n 即 ∣ A ∣ ≠ 0 |\bm A|\ne0 ∣A∣0 n \bm n n 元非齐次线性方程组解的判定 n 元非齐次线性方程组 A x b \bm{Ax}\bm{b} Axb 解的情况如下
无解的充分必要条件是 R ( A ) R ( A , b ) R(\bm A)R(\bm A,\bm b) R(A)R(A,b) 有解的充分必要条件是 R ( A ) R ( A , b ) R(\bm A)R(\bm A,\bm b) R(A)R(A,b) 其中 有惟一解的充分必要条件是 R ( A ) R ( A , b ) n R(\bm A)R(\bm A,\bm b)n R(A)R(A,b)n 有无穷多解的充分必要条件是 R ( A ) R ( A , b ) n R(\bm A)R(\bm A,\bm b)n R(A)R(A,b)n 矩阵方程解的判定 矩阵方程 A X B \bm{AX}\bm{B} AXB 解的情况如下
无解的充分必要条件是 R ( A ) R ( A , B ) R(\bm A)R(\bm A,\bm B) R(A)R(A,B) 有解的充分必要条件是 R ( A ) R ( A , B ) R(\bm A)R(\bm A,\bm B) R(A)R(A,B)
