旅游网站项目策划书,网站换空间上怎么办啊,网站推荐几个,如何用asp编写网站后台一.矩阵
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11.伴随矩阵
设 A 是一个 nn 的方阵#xff0c;其元素为 aij。伴随矩阵 adj(A)或A* 是一个 nn的矩阵#xff0c;其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 Mji 的代数余子式 Cji#xff0c;即#xff1a; 其中 Mji是 A 的第j 行第i 列元素的余子式#xff0…一.矩阵
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11.伴随矩阵
设 A 是一个 n×n 的方阵其元素为 aij。伴随矩阵 adj(A)或A* 是一个 n×n的矩阵其第 i 行第 j 列的元素是 A 的余子式 Mji 的代数余子式 Cji即 其中 Mji是 A 的第j 行第i 列元素的余子式即去掉第 j 行和第 i 列后剩下的 (n−1)×(n−1) 矩阵的行列式。
简单理解
1.先按行求出每个元素的代数余子式
2.将每行元素的代数余子式按列组成一个矩阵该矩阵就是伴随矩阵。
性质 证明 性质2 证明 所以 得出 如果|A|0则A中两行元素相等或成比例或一行元素为0则其代数余子式必有一行元素为0所以 所以等式成立。
12.逆矩阵
对于一个 n×n 的方阵 A如果存在另一个 n×n的方阵 B使得 ABBAE其中 E 是 n×n 的单位矩阵那么 B 称为 A 的逆矩阵记作 逆矩阵的存在条件
一个矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的即 det(A)≠0。如果 det(A)0则 A 是奇异矩阵没有逆矩阵。
思考如果A可逆则可逆矩阵是唯一的
证明
假设可逆矩阵不是唯一的存在两个可逆矩阵B1和B2则由可逆矩阵定义可知 则 所以可逆矩阵唯一。
性质
1.n阶方阵A可逆的充要条件为 且当A可逆时 证明
充分性
因为 则 所以A可逆并且 必要性
因为A可逆则 所以 13.初等变换
初等变换一般可以分为两种类型行变换、列变换。
初等行变换 交换两行将矩阵的第 i 行和第 j 行交换位置 如矩阵第二行和第三行交换 某一行乘以非零常数将矩阵的第i 行乘以一个非零常数 k 如第二行乘以非零整数k 某一行加上另一行的倍数将矩阵的第 i行加上第 j 行的 k 倍 如矩阵第一行乘以-4加到第二行
初等列变换 交换两列将矩阵的第 i 列和第 j 列交换位置 某一列乘以非零常数将矩阵的第 i 列乘以一个非零常数 k 某一列加上另一列的倍数将矩阵的第 i 列加上第 j 列的 k 倍
14.矩阵的标准形
常见的矩阵标准形包括行阶梯形矩阵、简化行阶梯形矩阵等。
14.1 行阶梯形矩阵
行阶梯形矩阵是一种特殊的矩阵形式具有以下特征 非零行在零行之上所有非零行都在零行之上。 主元每一行的第一个非零元素主元在上一行主元的右边。 主元下方元素为零每一行的主元下方元素都为零。
14.2 简化行阶梯形矩阵
简化行阶梯形矩阵是行阶梯形矩阵的一种特殊形式具有以下特征 非零行在零行之上所有非零行都在零行之上。 主元为 1每一行的第一个非零元素主元为 1。 主元下方元素为零每一行的主元下方元素都为零。 主元上方元素为零每一行的主元上方元素都为零。
思考行阶梯形矩阵是唯一的吗行简化阶梯形矩阵是唯一的吗
行阶梯形矩阵不是唯一的上边例子中第5、6、7步得到的矩阵都是行阶梯形矩阵
如果只做初等行变换行简化阶梯形矩阵是唯一的因为不能再简化了
二.向量
1.定义
向量可以用多种方式定义以下是几种常见的定义 几何定义向量是一个有方向和大小的量通常用箭头表示。向量的起点称为原点终点称为向量的端点。 代数定义向量是一个有序的数组通常表示为列向量或行向量。
例如一个 n 维列向量可以表示为 一个 n 维行向量可以表示为 其中 v1,v2,…,vn是向量的分量。
行向量和列向量再本质上没有区别。
向量的表示
向量可以用多种方式表示以下是几种常见的表示方法 几何表示在二维或三维空间中向量通常用箭头表示箭头的方向表示向量的方向箭头的长度表示向量的大小。 代数表示向量可以用列向量或行向量表示如上所述。 坐标表示在二维或三维空间中向量可以用坐标表示。例如二维向量 v(v1,v2)v(v1,v2) 表示在 xx 轴和 yy 轴上的分量。
2. 向量的运算
向量有几种基本的运算包括加法、数乘、点积和叉积。
向量加法
向量加法是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。例如两个 n 维向量 u 和 v 的加法为 向量数乘
向量数乘是将一个向量的每个分量乘以一个标量得到一个新的向量。例如一个 n 维向量 v 与标量 k 的数乘为 向量点积
向量点积内积是将两个向量的对应分量相乘然后将结果相加得到一个标量。例如两个 n 维向量 u 和 v 的点积为 3.矩阵的特征值和特征向量
定义
设 A 是一个 n×n 的方阵。如果存在一个非零列向量 v 和一个标量 λ使得 那么 λ 称为矩阵 A的特征值v 称为对应于特征值 λ 的特征向量。
注λ可以为0而v不能为0并且v是列向量。因为A是n维矩阵如果v是行向量则维数是1xn不满足矩阵相乘。
将定义中的等式移项得到 由于v是非零列向量相当于求上述方程的非零解由方程有非零解的充要条件是行列式为0的定理可知 说明(A-λE)特征矩阵|A-λE|特征行列式或特征多项式|A-λE|0特征方程
结论
1.λ是A的特征值v是对应λ的一个特征向量则cv也是λ的一个特征向量c为不等于0的标量。
根据定义 等式两边同乘以c 所以cv也是λ的一个特征向量。
4.向量的模
定义
向量 v 的模记作 ∥v∥计算公式为 几何解释
在二维空间中向量 v(v1,v2)的模表示从原点到点 (v1,v2)的距离。在三维空间中向量 v(v1,v2,v3)的模表示从原点到点 (v1,v2,v3)的距离。
||v||1叫做单位向量的模。如v(1,0,0)
性质 非负性∥v∥≥0并且 ∥v∥0 当且仅当 v0零向量。 齐次性对于任意标量 k∥kv∥∣k∣∥v∥。 三角不等式对于任意向量 u 和 v∥uv∥≤∥u∥∥v∥。
5.向量的内积
定义
对于两个 n 维向量 a(a1,a2,…,an) 和 b(b1,b2,…,bn)它们的内积点积表示为 a⋅b计算公式为 几何解释
在几何上内积也可以通过向量的模和它们之间的夹角来表示。具体来说如果 θ 是向量 a 和 b 之间的夹角那么内积可以表示为 其中 ∥a∥ 和 ∥b∥ 分别是向量 a 和 b 的模长度。 cos(θ)是夹角 θ 的余弦值。
性质 交换律a⋅bb⋅a 分配律a⋅(bc)a⋅ba⋅c 数乘结合律(ka)⋅bk(a⋅b)a⋅(kb)(其中 k 是标量。 正定性a⋅a≥0并且 a⋅a0 当且仅当 a0。
向量内积的几何解释其实就是余弦相似度算法的公式当cos(θ)1时表示两个向量重合当cos(θ)0时表示两个向量垂直。
如果使用两个向量分别近似表示两个文本或图像两个向量的cos(θ)越接近1表示这两个文本内容越相似cos(θ)越接近0表示这两个文本内容越不相似。
