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从家里出发#xff0c;7座桥每桥…普瑞格尔河从古堡哥尼斯堡市中心流过河中有小岛两座筑有7座古桥哥尼斯堡人杰地灵市民普遍爱好数学。1736年该市一名市民向大数学家Euler提出如下的所谓“七桥问题”
从家里出发7座桥每桥恰通过一次再回到家里是否可能
事实上人们此前已经反复试验多次不管怎样游行亦未成功地实现美桥恰过一次的旅行。但又无人严格证明七桥问题的答案是否定的。
欧拉首先想到的是用穷举法 就是把所有的走法都一一列出来然后再一个一个的验证是否可行。 但是他马上发现这样做太麻烦了 因为对七座桥的不同走法就有7!5040种逐一检验太耗时费力了况且这样的方法没有通用性。如果桥的位置或桥的数量发生变化岂不又得重新检验? 看来此法不可行。
Euler把两岸分别用C和D两个点来表示两岛分别用A与B两点来表示。A、B、C、D各点的位置无关紧要仅当两块陆地之间有桥时在上述相应的两个点间连有一段曲线段此曲线段的曲直长短也无关紧要于是得到图 欧拉在这里是把实际问题抽象成纯数学模型来进行研究从而获得了解决一类问题的方法。所谓抽象就是把研究的事物从某种角度看待的本质属性抽取出来 进行考察的思维方法。在数学中例如在由“一个人”“一头羊”“一只猴”或者一个其他什么具体事物抽象出相应的数学概念“1”时我们所注意的只是这些对象在数量上的共同特征即量的多少而根本不去考虑所说对象的质的内容(是人是羊是猴还是别的什么东西)。又如哥尼斯堡七桥问题中一笔画问题便是从七桥问题中抽象出来的数学模型。在该模型里仅仅保留了一次过七桥的基本属性而舍弃了其他一切属性。
通过数学建模已经把实际问题转化成了数学问题。这时欧拉注意到如果一个图形能一笔画成那么除去起点和终点外其他的点都是经过点。而经过点是有进有出的点即有一条线进这个点就一定有一条线出这个点。不可能有进无出如果有进无出它就是终点; 也不可能有出无进如果有出无进它就是起点。因此在经过点进出的线总数应该是偶数。我们称在一个点进出线的总数是偶数的点为偶点; 总数为奇数的点称为奇点。如果起点和终点是同一个点那么它也属于有进有出的点它也是偶点这样图上的点全是偶点。如果起点和终点不是同一个点那么它们必定是奇点。 因此能够一笔画的图形最多只有两个奇点。
1736年欧拉证明了自己的猜想一次不重复走完七座桥是根本不可能的。随即他发表了“一笔画定理”
一个图形要能一笔画完必须符合以下两个条件:
(1)图形是封闭连通的
(2)图形中的奇点个数为 0 或 2
七桥问题中的四个点全是奇点当然不能一笔画即不可能一次无重复地走完七座桥。 一般地说如果图中的点全是偶点那么可以任意选择一个点作为起点当然终点与起点重合能一笔画成如果图中有两个奇点那么可以任意选一个奇点作为起点另一个奇点为终点可以一笔画成。
欧拉的这个研究成果开创了图论和拓扑学这两门新的学科。这两门学科在计算机科学中有着广泛的应用。由此可见只要善于用数学的眼光、数学的方法去观察事物分析问题就能把生活中的一些实际问题转化为数学问题并用数学的方法来处理和解决。
