福州做网站的公司,平台一直维护是不是要跑路了,丽江网站建设 莱芜,天涯社区和海南在线不能正常访问文章目录 幂级数性质四则运算性质分析性质求解和函数例例 幂级数性质
和多项式有相似的性质本文介绍用幂级数的性质求解幂级数和函数的两个例子
四则运算性质 若幂级数 ∑ n 0 ∞ a n x n \sum_{n0}^{\infin}a_{n}x^{n} ∑n0∞anxn(1)的收敛半径为 R 1 R_1 R1,和函数为… 文章目录 幂级数性质四则运算性质分析性质求解和函数例例 幂级数性质
和多项式有相似的性质本文介绍用幂级数的性质求解幂级数和函数的两个例子
四则运算性质 若幂级数 ∑ n 0 ∞ a n x n \sum_{n0}^{\infin}a_{n}x^{n} ∑n0∞anxn(1)的收敛半径为 R 1 R_1 R1,和函数为 S 1 ( x ) S_1(x) S1(x) 幂级数 ∑ n 0 ∞ b n x n \sum_{n0}^{\infin}b_{n}x^{n} ∑n0∞bnxn(2)的收敛半径为 R 2 R_2 R2,和函数为 S 2 ( x ) S_2(x) S2(x)令 R min { R 1 , R 2 } R\min\set{R_1,R_2} Rmin{R1,R2} 则: ∑ n 0 ∞ a n x n ± ∑ n 0 ∞ b n x n \sum_{n0}^{\infin}a_{n}x^{n}\pm{\sum_{n0}^{\infin}b_{n}x^{n}} ∑n0∞anxn±∑n0∞bnxn ∑ n 0 ∞ ( a n ± b n ) x n \sum_{n0}^{\infin}(a_{n}\pm{b_{n}})x^{n} ∑n0∞(an±bn)xn S 1 ( x ) ± S 1 ( x ) S_1(x)\pm{S_1(x)} S1(x)±S1(x),(3) x ∈ ( − R , R ) x\in{(-R,R)} x∈(−R,R) ( ∑ n 0 ∞ a n x n ) ( ∑ n 0 ∞ b n x n ) (\sum_{n0}^{\infin}a_{n}x^{n})(\sum_{n0}^{\infin}b_{n}x^{n}) (∑n0∞anxn)(∑n0∞bnxn) ∑ n 0 ∞ T n x n \sum_{n0}^{\infin}{T_{n}}x^{n} ∑n0∞Tnxn S 1 ( x ) S 2 ( x ) S_1(x)S_2(x) S1(x)S2(x)(4) 多项式乘法中, n n n次项幂的系数表示为 a i b n − i a_{i}b_{n-i} aibn−i,其中 a i , b n − i a_{i},b_{n-i} ai,bn−i分别是 S 1 ( x ) S_1(x) S1(x), S 2 ( x ) S_2(x) S2(x)中的 i i i次项系数和 n − i n-i n−i次项系数 a i x i b n − i x n − i a_{i}x^{i}b_{n-i}x^{n-i} aixibn−ixn−i a i b n − i x n a_{i}b_{n-i}x^{n} aibn−ixn, i 0 , 1 , 2 , ⋯ , n i0,1,2,\cdots,n i0,1,2,⋯,n(5)若令 S 1 ( x ) S 2 ( x ) S_1(x)S_2(x) S1(x)S2(x)的 n n n次幂的系数为 T n T_n Tn,则 T n T_{n} Tn ∑ i 0 n a i b n − i \sum_{i0}^{n}a_ib_{n-i} ∑i0naibn−i(6)因此式(4)为 ( ∑ n 0 ∞ a n x n ) ( ∑ n 0 ∞ b n x n ) (\sum_{n0}^{\infin}a_{n}x^{n})(\sum_{n0}^{\infin}b_{n}x^{n}) (∑n0∞anxn)(∑n0∞bnxn) ∑ n 0 ∞ ( ∑ i 0 n a i b n − i ) x n \sum_{n0}^{\infin}{(\sum_{i0}^{n}a_ib_{n-i})}x^{n} ∑n0∞(∑i0naibn−i)xn ∑ n 0 ∞ a n x n ∑ n 0 ∞ b n x n \Large{\frac{\sum_{n0}^{\infin}a_{n}x^{n}}{\sum_{n0}^{\infin}b_{n}x^{n}}} ∑n0∞bnxn∑n0∞anxn ∑ n 0 ∞ c n x n \sum_{n0}^{\infin}c_{n}x^{n} ∑n0∞cnxn(7) 其中 c n c_{n} cn, n 1 , 2 , ⋯ . n1,2,\cdots. n1,2,⋯.的确定比乘法中 T n T_{n} Tn的确定复杂一些 显然 ∑ n 0 ∞ b n x n ⋅ ∑ n 0 ∞ c n x n \sum_{n0}^{\infin}b_{n}x^{n} \cdot \sum_{n0}^{\infin}c_{n}x^{n} ∑n0∞bnxn⋅∑n0∞cnxn ∑ n 0 ∞ a n x n \sum_{n0}^{\infin}{a_{n}}x^{n} ∑n0∞anxn(8),而系数 c n c_n cn就是通过此方程式确定由式(4)性质可知, Q n Q_{n} Qn ∑ i 0 n b i c n − i \sum_{i0}^{n}b_ic_{n-i} ∑i0nbicn−i,再比较式(8)两端系数,可知 a n a_{n} an ∑ i 0 n b i c n − i \sum_{i0}^{n}b_ic_{n-i} ∑i0nbicn−i(9) 分别令 n 0 , 1 , 2 , ⋯ n0,1,2,\cdots n0,1,2,⋯可以从 ( 9 ) (9) (9)产生一系列方程 a 0 a_0 a0 b 0 c 0 b_0c_{0} b0c0 a 1 a_1 a1 b 0 c 1 b 1 c 0 b_0c_{1}b_{1}c_{0} b0c1b1c0 a 2 a_{2} a2 b 2 c 0 b 1 c 1 b 0 c 2 b_2c_0b_1c_1b_0c_2 b2c0b1c1b0c2 ⋯ \cdots ⋯ 依次求解方程组 n 0 , 1 , 2 , ⋯ , k n0,1,2,\cdots,k n0,1,2,⋯,k的方程,即可依次求得 c 0 , c 1 , c 2 ⋯ c_0,c_1,c_{2}\cdots c0,c1,c2⋯上述方法式递推法求解系数 c n c_n cn,如果要求 c k c_k ck,就要求阶 k k k个方程 此时式(7)的收敛域可能比原来的两个级数的收敛域小得多
分析性质 和多项式类似的分项积分和分项求导性质,并且不改变收敛区间 设幂级数 ∑ n 0 ∞ a n x n \sum_{n0}^{\infin}a_{n}x^{n} ∑n0∞anxn的和函数为 s ( x ) s(x) s(x),收敛域为 I I I s ( x ) s(x) s(x)在 I I I上连续 s ( x ) s(x) s(x)在 I I I上可积,且有逐项积分公式(变上限积分): ∫ 0 x s ( t ) d t \int_{0}^{x}s(t)\mathrm{d}t ∫0xs(t)dt ∫ 0 x [ ∑ n 0 ∞ a n t n ] d t \int_{0}^{x}[\sum_{n0}^{\infin}a_{n}t^{n}]\mathrm{d}t ∫0x[∑n0∞antn]dt ∑ n 0 ∞ ∫ 0 x a n t n d t \sum_{n0}^{\infin}\int_{0}^{x}a_{n}t^{n}\mathrm{d}t ∑n0∞∫0xantndt ∑ n 0 ∞ a n n 1 x n 1 \sum_{n0}^{\infin}\frac{a_{n}}{n1}{x^{n1}} ∑n0∞n1anxn1, ( x ∈ I ) (x\in{I}) (x∈I) 积分区间为 [ 0 , x ] [0,x] [0,x]逐项积分后,所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径 s ( x ) s(x) s(x)在 ( − R , R ) (-R,R) (−R,R)内可导,且有逐项求导公式 s ′ ( x ) s(x) s′(x) ( ∑ n 0 ∞ a n x n ) ′ (\sum_{n0}^{\infin}a_{n}x^{n}) (∑n0∞anxn)′ ∑ n 0 ∞ ( a n x n ) ′ \sum_{n0}^{\infin}(a_{n}x^{n}) ∑n0∞(anxn)′ ∑ n 0 ∞ n a n x n − 1 \sum_{n0}^{\infin}na_{n}x^{n-1} ∑n0∞nanxn−1, ( ∣ x ∣ R ) (|x|R) (∣x∣R) 逐项求导后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径 注意,虽然收敛半径相同,但是收敛域不一定相同,求导可能收敛域对应得端点处不再收敛 例如原幂级数的收敛域为 [ − R , R ) [-R,R) [−R,R),那么求导后的半径变为 ( − R , R ) (-R,R) (−R,R),显然两个区间不相等;但如果原幂级数的收敛域为 ( − R , R ) (-R,R) (−R,R),那么求导后的级数收敛域不变 反复应用上述结论可知, s ( x ) s(x) s(x)在其**收敛区间 ( − R , R ) (-R,R) (−R,R)**内具有任意阶导数
求解和函数
分析性质可以用于求解幂级数的和函数,也就是幂级数收敛于什么函数 s ( x ) s(x) s(x)第一步就是要求解收敛域,这时和函数的定义域 求出收敛半径 R R R再检验 x ± R x\pm{R} x±R是的敛散性,以确定收敛域
例
求 ∑ n 0 ∞ x n n 1 \sum_{n0}^{\infin}\frac{x^{n}}{n1} ∑n0∞n1xn的收敛域以及和函数 s ( x ) s(x) s(x)(1) 判断级数类型:该级数是一个幂级数,并且是标准形确定通项的系数: a n a_n an 1 n 1 \frac{1}{n1} n11观察 a n a_{n} an考虑使用比值式考察其是否收敛(敛散性), ρ \rho ρ lim n → ∞ n 1 n 2 \lim\limits_{n\to\infin}\frac{n1}{n2} n→∞limn2n1 1 1 1, R 1 ρ R\frac{1}{\rho} Rρ11说明原级数收敛,且收敛半径为 R 1 R1 R1,收敛区间就是 ( − 1 , 1 ) (-1,1) (−1,1)考察区间端点处,对应的常数项级数: x − 1 x-1 x−1时,通项为 ( − 1 ) n n 1 \frac{(-1)^{n}}{n1} n1(−1)n,对应的常数项级数为 ∑ n 0 ∞ ( − 1 ) n n 1 \sum_{n0}^{\infin}\frac{(-1)^{n}}{n1} ∑n0∞n1(−1)n 1 − 1 2 ⋯ 1-\frac{1}{2}\cdots 1−21⋯ 这时一个交错级数,由Leibniz定理, 1 n 1 \frac{1}{n1} n11递减,且 1 n 1 → 0 ( n → ∞ ) \frac{1}{n1}\to{0}(n\to{\infin}) n11→0(n→∞)可知该级数收敛 x 1 x1 x1时,幂级数称为 ∑ n 0 ∞ 1 n 1 \sum_{n0}^{\infin}\frac{1}{n1} ∑n0∞n11 ∑ n 1 ∞ 1 n \sum_{n1}^{\infin}\frac{1}{n} ∑n1∞n1,是调和级数,其显然是发散的综上,收敛域为 I [ − 1 , 1 ) I[-1,1) I[−1,1) (2) 求 s ( x ) s(x) s(x)就是在收敛域内,要将级数形式化简为非求和形式令 s ( x ) s(x) s(x) ∑ n 0 ∞ x n n 1 \sum_{n0}^{\infin}\frac{x^{n}}{n1} ∑n0∞n1xn(1), x ∈ [ − 1 , 1 ) x\in[-1,1) x∈[−1,1) 式(1)两边同时乘以 x x x, x s ( x ) xs(x) xs(x) ∑ n 0 ∞ x n 1 n 1 \sum_{n0}^{\infin}\frac{x^{n1}}{n1} ∑n0∞n1xn1 ∑ n 1 ∞ x n n \sum_{n1}^{\infin}\frac{x^{n}}{n} ∑n1∞nxn(2), x ∈ [ − 1 , 1 ) x\in[-1,1) x∈[−1,1)对(2)两边求导,并由逐项求导公式,得 ( x s ( x ) ) ′ (xs(x)) (xs(x))′ ∑ n 1 ∞ x n − 1 \sum_{n1}^{\infin}{x^{n-1}} ∑n1∞xn−1 1 x x 2 ⋯ x n ⋯ 1xx^2\cdotsx^{n}\cdots 1xx2⋯xn⋯, x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in(-1,1) x∈(−1,1)(3) Note:求导后收敛区间为 ∣ x ∣ 1 |x|1 ∣x∣1,即 x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in(-1,1) x∈(−1,1) 而我们知道常用级数 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1 1 x x 2 ⋯ x n ⋯ 1xx^2\cdotsx^{n}\cdots 1xx2⋯xn⋯, x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in(-1,1) x∈(−1,1)(4)比较(3,4)可得 ( x s ( x ) ) ′ (xs(x)) (xs(x))′ 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1, x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in(-1,1) x∈(−1,1)(5) 对上式从 0 0 0到 x x x积分,得 x s ( x ) xs(x) xs(x) ∫ 0 x 1 1 − t d t \int_{0}^{x}\frac{1}{1-t}\mathrm{d}t ∫0x1−t1dt − ln ∣ t − 1 ∣ ∣ 0 x -\ln|t-1||_{0}^{x} −ln∣t−1∣∣0x − ln ∣ x − 1 ∣ -\ln|x-1| −ln∣x−1∣ (6), x ∈ [ − 1 , 1 ) x\in[-1,1) x∈[−1,1) 方法2: 这里可以不处理为 x s ( x ) xs(x) xs(x),而直接变形为: s ( x ) s(x) s(x) 1 x ∑ n 0 ∞ x n 1 n 1 \frac{1}{x}\sum_{n0}^{\infin}\frac{x^{n1}}{n1} x1∑n0∞n1xn1 1 x ∑ n 0 ∞ ∫ 0 n t n d t \frac{1}{x}\sum_{n0}^{\infin}\int_{0}^{n}t^{n}\mathrm{d}t x1∑n0∞∫0ntndt 1 x ∫ 0 n ( ∑ n 0 ∞ t n ) d t \frac{1}{x}\int_{0}^{n}(\sum_{n0}^{\infin}t^{n})\mathrm{d}t x1∫0n(∑n0∞tn)dt再利用常用已知级数 ∑ n 0 ∞ t n \sum_{n0}^{\infin}t^{n} ∑n0∞tn 1 1 − t \frac{1}{1-t} 1−t1, t ∈ ( − 1 , 1 ) t\in(-1,1) t∈(−1,1),得 s ( x ) s(x) s(x) 1 x ∫ 0 n ( 1 1 − t ) d t \frac{1}{x}\int_{0}^{n}(\frac{1}{1-t})\mathrm{d}t x1∫0n(1−t1)dt,同样得到式(6) 当 x ≠ 0 x\neq{0} x0时,有 s ( x ) s(x) s(x) − 1 x ln ( 1 − x ) -\frac{1}{x}\ln(1-x) −x1ln(1−x)(7)当 x 0 x0 x0, s ( 0 ) a 0 1 s(0)a_{0}1 s(0)a01 ∑ n 0 ∞ 0 n n 1 \sum_{n0}^{\infin}\frac{0^{n}}{n1} ∑n0∞n10n 0 0 0 1 \frac{0^{0}}{01} 0100 ∑ n 1 ∞ 0 n n 1 \sum_{n1}^{\infin}\frac{0^{n}}{n1} ∑n1∞n10n 1 0 10 10 1 1 1,这里约定 0 0 1 0^{0}1 001 或者也可以由 s ( x ) s(x) s(x)是连续的性质可以由极限式 lim x → 0 ( − 1 x ln ( 1 − x ) ) \lim\limits_{x\to{0}}(-\frac{1}{x}\ln(1-x)) x→0lim(−x1ln(1−x)) lim x → 0 ( − − x x ) \lim\limits_{x\to{0}}(-\frac{-x}{x}) x→0lim(−x−x)1,从而 s ( 0 ) s(0) s(0)1 ln ( 1 − x ) ∼ − x \ln(1-x)\sim{-x} ln(1−x)∼−x, ( − x → 0 ) (-x\to{0}) (−x→0)或者洛必达法则计算
例
令 u n u_{n} un ( − 1 ) n − 1 n x n − 1 (-1)^{n-1}nx^{n-1} (−1)n−1nxn−1,求幂级数 ∑ n 1 ∞ u n \sum_{n1}^{\infin} u_{n} ∑n1∞un的和函数(1)求收敛半径 方法1: ∣ u n ∣ |u_{n}| ∣un∣ ∣ n x n − 1 ∣ |nx^{n-1}| ∣nxn−1∣, ∣ u n ∣ n \sqrt[n]{|u_{n}|} n∣un∣ ∣ x ∣ n x − 1 n |x|\sqrt[n]{nx^{-1}} ∣x∣nnx−1 lim n → ∞ u n n \lim\limits_{n\to{\infin}}\sqrt[n]{u_{n}} n→∞limnun lim n → ∞ ∣ u n ∣ n \lim\limits_{n\to{\infin}}\sqrt[n]{|u_{n}|} n→∞limn∣un∣ ∣ x ∣ |x| ∣x∣,当 ∣ x ∣ 1 |x|1 ∣x∣1时,级数收敛,所以收敛半径为 R 1 R1 R1 方法2: 幂级数的系数为 a n a_{n} an ( − 1 ) n − 1 n (-1)^{n-1}n (−1)n−1n, ∣ a n 1 a n ∣ |\frac{a_{n1}}{a_{n}}| ∣anan1∣ n 1 n \frac{n1}{n} nn1从而 ρ \rho ρ lim n → ∞ ∣ a n 1 a n ∣ \lim\limits_{n\to{\infin}}|\frac{a_{n1}}{a_{n}}| n→∞lim∣anan1∣ 1 1 1,半径为 R 1 ρ R\frac{1}{\rho} Rρ11 方法3:(最为方便) ∣ a n ∣ n \sqrt[n]{|a_n|} n∣an∣ n n \sqrt[n]{n} nn 从而 ρ \rho ρ lim n → ∞ ∣ a n ∣ \lim\limits_{n\to{\infin}}\sqrt{|a_n|} n→∞lim∣an∣ lim n → ∞ n n \lim\limits_{n\to{\infin}}\sqrt[n]{n} n→∞limnn 1 1 1 (2)求收敛域: x − 1 x-1 x−1时,得常数项级数 ∑ n 1 ∞ n \sum_{n1}^{\infin}n ∑n1∞n,显然发散 x 1 x1 x1,时,得常数项级数 ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 n \sum_{n1}^{\infin}(-1)^{n-1}n ∑n1∞(−1)n−1n,此级数发散事实上, x ± 1 x\pm{1} x±1时,两个级数的一般项在 n → ∞ n\to{\infin} n→∞时不趋于0,所以发散所以收敛域为 ( − 1 , 1 ) (-1,1) (−1,1) (3)确定和函数 s ( x ) s(x) s(x) ∑ n 1 ∞ u n \sum_{n1}^{\infin} u_{n} ∑n1∞un, x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in{(-1,1)} x∈(−1,1)两边积分作 [ 0 , x ] [0,x] [0,x]区间上的积分: ∫ 0 x s ( t ) d t \int_{0}^{x}s(t)\mathrm{d}t ∫0xs(t)dt ∑ n 1 ∞ ∫ 0 x ( − 1 ) n − 1 n t n − 1 d t \sum_{n1}^{\infin} \int_{0}^{x}(-1)^{n-1}nt^{n-1}\mathrm{d}t ∑n1∞∫0x(−1)n−1ntn−1dt ∑ n 1 ∞ ( − 1 ) n − 1 x n \sum_{n1}^{\infin}(-1)^{n-1}x^{n} ∑n1∞(−1)n−1xn x − x 2 x 3 − ⋯ x-x^2x^3-\cdots x−x2x3−⋯(1) 考虑常用的已知级数 1 1 − x \frac{1}{1-x} 1−x1 1 x x 2 x 3 ⋯ 1xx^2x^3\cdots 1xx2x3⋯(2),有 1 1 − ( − x ) \frac{1}{1-(-x)} 1−(−x)1 1 − x x 2 − x 3 ⋯ 1-xx^2-x^3\cdots 1−xx2−x3⋯ 1 1 x \frac{1}{1x} 1x1(3)可知式(1)可以表示为 − ( 1 1 x − 1 ) -(\frac{1}{1x}-1) −(1x1−1) x 1 x \frac{x}{1x} 1xx因此 ∫ 0 x s ( t ) d x \int_{0}^{x}s(t)\mathrm{d}x ∫0xs(t)dx x 1 x \frac{x}{1x} 1xx,两边求导,得 s ( x ) s(x) s(x) 1 x − x ( x 1 ) 2 \frac{1x-x}{(x1)^2} (x1)21x−x 1 ( 1 x ) 2 \frac{1}{(1x)^2} (1x)21, x ∈ ( − 1 , 1 ) x\in(-1,1) x∈(−1,1)
