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1、一阶微分方程
称为一阶微分方程。y(x0)y0为定解条件。 其常规求解方法#xff1a;
#xff08;1#xff09;变量分离
再两边积分就可以求出通解。
#xff08;2#xff09;一阶线性求解公式 通解公式#xff1a;
有些一阶微分方程需要通过整体代换…一、基础知识
1、一阶微分方程
称为一阶微分方程。y(x0)y0为定解条件。 其常规求解方法
1变量分离
再两边积分就可以求出通解。
2一阶线性求解公式 通解公式
有些一阶微分方程需要通过整体代换比如uxy,uxy,ux/y,u1/yn等化为以上两种类型求解后再还原。
2、二阶常系数微分方程
【1】
【2】
【1】为齐次【2】为非齐次。
2.1 齐次【1】的通解构造
为【1】的特征方程。
1若特征方程有两个不同实根【1】通解为
2若特征方程有重根 【1】的通解为 3若特征方程有一对共轭复根【1】通解为 2.2 非齐次【2】的通解 1若y*是【2】的一个特解则【2】的通解为 2若y1*是的一个特解y2*的一个特解则微分方程的通解为 3、微分方程稳定性理论简介
3.1 一阶微分方程的平衡点及稳定性 【3】
【3】的右端不含自变量t称为自治方程代数方程 f(x)0的实根xx0称为【1】的平衡点奇点它也是【1】的解奇解。
如果方程[3]的解从某个x(0)出发满足 【4】
则称平衡点x0是稳定的否则就不稳定。
若f(x)可微则将f(x)在x0附近做一阶Taylor展开则1就近似表达为【5】
当x-x00时R1(x)是高阶无穷小。则[5]是【1】的近似线性方程x0也是[5]的平衡点关于x0的稳定性有如下结论
1若x0对于【5】是稳定的
2若x0对于【5】是不稳定的
3.2 二元方程的平衡点及稳定性
【6】
【6】右端不显含t称为自治方程方程组【7】
的根x1x10,x2x20称为【6】的平衡点记为p0(x10,x20).
如果【8】
称p0为稳定的否则称为不稳定的。
1线性常系数方程的稳定性讨论
【9】
设【9】的系数矩阵为A当|A|≠0时【9】有唯一的平衡点p0(0,0)。若A有两个特征根
【10】
1*若两个特征根都为负数或有负实部则p0是平稳的即p0,q0平衡点稳定
2*若两个特征根有一个为正或正实部则p0是不稳定的。即p0或q0平衡点不稳定
2非线性二元方程在p0(x10,x20)的稳定性讨论方法如下 剩下的判断方法同上。
