苏州做网站推广的,南宁网站建设升上去,聚合猫网站建设,什么二手车网站做最好文章目录 一. 点估计1. 矩估计法2. 极大似然法2.1. 似然函数2.2. 极大似然估计法 3. 评价估计量的标准3.1. 无偏性3.2. 有效性3.3. 一致性 二. 区间估计1. 区间估计的概念2. 正态总体参数的区间估计 参数估计讲什么 由样本来确定未知参数参数估计分为点估计与区间估计 一. 点估… 文章目录 一. 点估计1. 矩估计法2. 极大似然法2.1. 似然函数2.2. 极大似然估计法 3. 评价估计量的标准3.1. 无偏性3.2. 有效性3.3. 一致性 二. 区间估计1. 区间估计的概念2. 正态总体参数的区间估计 参数估计讲什么 由样本来确定未知参数参数估计分为点估计与区间估计 一. 点估计
所谓点估计是指用某个确定的值或在某个确定的点来估计总体的未知参数所以点估计又称为定值估计。 构造估计量 ( X 1 , X 2 . . . ) (X_1, X_2... ) (X1,X2...)的方法很多下面介绍常用的矩估计法和极大似然估计法。 1. 矩估计法
原点矩概念 原点矩Raw Moments是描述随机变量分布的一种数学量它是随机变量的幂次期望。具体来说对于一个随机变量 X其 r 阶原点矩定义为 μ r ′ E [ X r ] \mu_r E[X^r] μr′E[Xr] 其中 E 表示期望运算符。假设 X 是一个服从正态分布的随机变量我们可以用原点矩计算其各阶矩 一阶原点矩 μ 1 ′ E [ X ] \mu_1 E[X] μ1′E[X] 是正态分布的均值 μ。二阶原点矩 μ 2 ′ E [ X 2 ] \mu_2 E[X^2] μ2′E[X2]是正态分布的均值 μ 和方差 σ 2 σ^2 σ2 的和即 μ 2 ′ Var ( X ) ( μ ) 2 \mu2 \text{Var}(X) (\mu)^2 μ2′Var(X)(μ)2。 用样本矩估计参数 样本矩在一定程度上反映了总体矩的特征且在样本容量n增大的条件下样本的k阶原点矩 A k 1 / n ∑ i 1 n X i k A_k1/n\sum_{i1}^{n}X_i^k Ak1/n∑i1nXik 依概率收敛到总体X的k阶原点矩 μ k E ( X k ) μ_kE(X^k) μkE(Xk)即 A k − P μ k A_k-^P μ_k Ak−Pμk(n →∞) k12…。
因而自然想到用样本矩作为相应总体矩的估计量而以样本矩的连续函数作为相应总体矩的连续函数的估计量这种估计方法就称为矩估计法。 矩估计法的一般做法:设总体 X ∼ F ( X ; θ 1 , θ 2 , . . . ) X \sim F ( X; θ_1, θ_2,...) X∼F(X;θ1,θ2,...)其 中 θ 1 , θ 2 θ_1, θ_2 θ1,θ2 … 均未知。 A 1 A_1 A1 代表一阶原点矩就是平均值当趋于无穷时 A 1 A_1 A1 收敛于 μ 1 \mu_1 μ1xf(x;θ)是求一阶原点矩的通用公式得到θ与μ的关系之后就可得θ的矩估计值 θ ^ \hat{θ} θ^。 2. 极大似然法
极大似然估计法(Maximum Likelihood Estimation)只能在已知总体分布的前提下进行。
例如假定一个盒子里装有许多大小相同的 黑球和白球并且假定它们的数目之比为3∶1但不知是白球多还是黑球多现在有放回地从盒中抽了3个球试根据所抽3个球中黑球的数目确定是白球多还是黑球多。 2.1. 似然函数
在极大似然估计法中最关键的问题是如何求得似然函数有了似然函数问题就简单了下面分两种情形来介绍似然函数。
(1)离散型总体 p为 X n X_n Xn 变量θ的概率 2连续型总体 只要知道概率分布或密度函数就可以得到关于θ的似然函数。 2.2. 极大似然估计法
主要思想 转换为求似然函数的最大值。 简化为dlnL(θ)/dθ0 推广到k个未知参数也适用 3. 评价估计量的标准
设总体 X X X服从 [ 0 , θ ] [0,θ ] [0,θ]上的均匀分布 如下分别使用点估计和极大似然法来估计θ θ ^ 矩 2 X ˉ \hat{θ}_矩 2 \bar{X} θ^矩2Xˉ θ ^ L m a x 1 i n { X i } \hat{θ}_L \underset{1in}{max}{\{X_i\}} θ^L1inmax{Xi} 这两个估计哪一个好呢?下面我们首先讨论衡量估计量好坏的标准问题。 3.1. 无偏性
若估计量 ( X 1 X 2 . . . X n ) ( X_1 X_2...X_n ) (X1X2...Xn)的数学期望等于未知参数 即 E ( θ ^ ) θ E(\hat{θ})θ E(θ^)θ 则称 θ ^ \hat{θ} θ^为θ的无偏估计量(Non-deviationEstimator)。
估计量 θ ^ \hat{θ} θ^ 的值不一定就是θ的真值因为它是一个随机变量若 θ ^ \hat{θ} θ^ 是θ的无偏估计则尽管 θ ^ \hat{θ} θ^的值随样本值的不同而变化但平均来说它会等于θ的真值。 3.2. 有效性
对于未知参数θ 如果有两个无偏估计量 θ ^ 1 \hat{θ}_1 θ^1 与 θ ^ 2 \hat{θ}_2 θ^2 即 E ( θ ^ 1 ) E(\hat{θ}_1) E(θ^1) E ( θ ^ 2 ) E(\hat{θ}_2) E(θ^2) θ那么在 θ ^ 1 \hat{θ}_1 θ^1 与 θ ^ 2 \hat{θ}_2 θ^2中谁更好呢?
此时我们自然希望θ,的平均偏差 E ( θ ^ − θ ) 2 E(\hat{θ}-θ)^2 E(θ^−θ)2越小越好即一个好的估计量应该有尽可能小的方差这就是有效性。如下分析 举例说明 3.3. 一致性
随着样本的增大n随概率收敛于θ真值 二. 区间估计
1. 区间估计的概念
μ概率的问题 我们给出μ的大致范围使得μ有较高的概率在这个范围内这就是区间估计问题。 置信区间、置信概率置信度 定义中的随机区间 ( θ 1 , θ 2 ) (θ_1,θ_2) (θ1,θ2)的大小依赖于随机抽取的样本观测值它可能包含θ 也可能不包含上式的意义是指θ在 ( θ 1 , θ 2 ) (θ_1,θ_2) (θ1,θ2)区间的概率是1-a 。
例如若取 a0.05那么置信概率为1-a 0.95这时置信区间 ( θ 1 , θ 2 ) (θ_1,θ_2) (θ1,θ2)的意义是指:在100次重复抽样所得到的100个置信区间中大约有95个区间包含参数真值θ有5个区间不包含真值。 2. 正态总体参数的区间估计 如果未知则用方差代替 练习题ing 当容量很大时由中心极限定理下式服从标准正态分布。
