钱包钱夹移动网站建设,顺德网站制作公司,做网站的企业广州,唐山自助建站模板朴素贝叶斯法#xff08;naive Bayes#xff09;是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。对于给定的训练数据集#xff0c;首先基于特征条件独立假设学习输入输出的联合概率分布#xff1b;然后基于此模型#xff0c;对给定的输入 x x x#xff0c;利用贝叶斯定理…朴素贝叶斯法naive Bayes是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法。对于给定的训练数据集首先基于特征条件独立假设学习输入输出的联合概率分布然后基于此模型对给定的输入 x x x利用贝叶斯定理求出后验概率最大的输出 y y y。
基本方法
设输入空间 X ⊆ R n X\subseteq R^n X⊆Rn为 n n n维向量的集合输出空间为类标记集合 Y { c 1 , c 2 , . . . , c k } Y\{c_1,c_2,...,c_k\} Y{c1,c2,...,ck}。输入为特征向量 x ∈ X x\in X x∈X输出为类标记 y ∈ Y y\in Y y∈Y。 X X X是定义在输入空间 X X X上的随机向量 Y Y Y是定义在输出空间 Y Y Y上的随机变量。 P ( X , Y ) P(X,Y) P(X,Y)是 X X X和 Y Y Y的联合概率分布。训练集 T { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x N , y N ) } T\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)\} T{(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN)}由 P ( X , Y ) P(X,Y) P(X,Y)独立同分布产生。
朴素贝叶斯算法就是通过训练数据集学习联合概率分布 P ( X , Y ) P(X,Y) P(X,Y)。
具体地学习以下先验概率分布及条件概率分布。 先验概率分布 P ( Y C k ) , k 1 , 2 , . . . , K P(YC_k), \quad k1,2,...,K P(YCk),k1,2,...,K 条件概率分布 P ( X x ∣ Y C k ) P ( X ( 1 ) x ( 1 ) , . . . , X ( n ) x ( n ) ∣ Y C k ) , k 1 , 2 , . . . , K P(Xx|YC_k)P(X^{(1)}x^{(1)},...,X^{(n)}x^{(n)}|YC_k),\quad k1,2,...,K P(Xx∣YCk)P(X(1)x(1),...,X(n)x(n)∣YCk),k1,2,...,K。
由于条件概率分布 P ( X x ∣ Y C k ) P(Xx|YC_k) P(Xx∣YCk)由指数级数量的参数其估计实际是不可能的。事实上假设特征 X ( j ) X^{(j)} X(j)可能的取值有 S j S_j Sj个 j 1 , 2 , . . . , n j1,2,...,n j1,2,...,n Y Y Y可能取值有 K K K个那么参数个数为 K ∏ j 1 n S j K\prod_{j1}^{n}S_j K∏j1nSj个。
于是朴素贝叶斯算法对条件概率分布作出了条件独立性的假设。这是一个非常强的假设等于是说用于分类的特征在类确定的条件下都是条件独立的具体地条件独立性假设是 P ( X x ∣ Y C k ) P ( X ( 1 ) x ( 1 ) , . . . , X ( n ) x ( n ) ∣ Y C k ) P(Xx|YC_k)P(X^{(1)}x^{(1)},...,X^{(n)}x^{(n)}|YC_k) P(Xx∣YCk)P(X(1)x(1),...,X(n)x(n)∣YCk) ∏ j 1 n P ( X ( j ) x ( j ) ∣ Y C k ) \qquad \quad \prod_{j1}^{n}P(X^{(j)}x^{(j)}|YC_k) j1∏nP(X(j)x(j)∣YCk)
朴素贝叶斯算法在进行分类时对给定的输入 x x x通过学习到的模型计算后验概率分布 P ( Y C k ∣ X x ) P(YC_k|Xx) P(YCk∣Xx)然后将后验概率最大的类作为 x x x的输出。后验概率计算根据贝叶斯定理进行 P ( Y C k ∣ X x ) P ( X x ∣ Y C k ) P ( Y C k ) ∑ k P ( X x ∣ Y C k ) P ( Y C k ) P(YC_k|Xx)\frac{P(Xx|YC_k)P(YC_k)}{\sum_{k}P(Xx|YC_k)P(YC_k)} P(YCk∣Xx)∑kP(Xx∣YCk)P(YCk)P(Xx∣YCk)P(YCk) P ( Y C k ) ∏ j P ( X ( j ) x ( j ) ∣ Y C k ) ∑ k P ( Y C k ) ∏ j P ( X ( j ) x ( j ) ∣ Y C k ) \qquad \qquad \qquad \qquad\frac{P(YC_k)\prod_{j}P(X^{(j)}x^{(j)}|YC_k)}{\sum_{k}P(YC_k)\prod_{j}P(X^{(j)}x^{(j)}|YC_k)} ∑kP(YCk)∏jP(X(j)x(j)∣YCk)P(YCk)∏jP(X(j)x(j)∣YCk)
于是朴素贝叶斯分类器可表示为 y f ( x ) a r g max C k P ( Y C k ) ∏ j P ( X ( j ) x ( j ) ∣ Y C k ) ∑ k P ( Y C k ) ∏ j P ( X ( j ) x ( j ) ∣ Y C k ) yf(x)arg\max_{C_k}\frac{P(YC_k)\prod_{j}P(X^{(j)}x^{(j)}|YC_k)}{\sum_{k}P(YC_k)\prod_{j}P(X^{(j)}x^{(j)}|YC_k)} yf(x)argCkmax∑kP(YCk)∏jP(X(j)x(j)∣YCk)P(YCk)∏jP(X(j)x(j)∣YCk)
由于分母对所有的类都是相同的所以 y f ( x ) a r g max C k P ( Y C k ) ∏ j P ( X ( j ) x ( j ) ∣ Y C k ) yf(x)arg\max_{C_k}P(YC_k)\prod_{j}P(X^{(j)}x^{(j)}|YC_k) yf(x)argCkmaxP(YCk)j∏P(X(j)x(j)∣YCk) 算法 输入训练集 T { ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , . . . , ( x N , y N ) } T\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)\} T{(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN)}其中 x i ( x i ( 1 ) , x i ( 2 ) , . . . , x i ( n ) ) T x_i(x_i^{(1)},x_i^{(2)},...,x_i^{(n)})^T xi(xi(1),xi(2),...,xi(n))T x i ( j ) x_i^{(j)} xi(j)是第 i i i个样本的第 j j j个特征 x i ( j ) ∈ { a j 1 , a j 2 , . . . , a j S j } x_i^{(j)} \in \{a_{j1},a_{j2},...,a_{jS_j}\} xi(j)∈{aj1,aj2,...,ajSj} a j l a_{jl} ajl是第 j j j个特征可能取的第 l l l个值 j 1 , 2 , . . . , n j1,2,...,n j1,2,...,n l 1 , 2 , . . . , S j l1,2,...,S_j l1,2,...,Sj y i ∈ { C 1 , C 2 , . . . , C k } y_i \in \{C_1,C_2,...,C_k\} yi∈{C1,C2,...,Ck}实例 x x x。 输出实例 x x x的分类。 计算先验概率及条件概率 P ( Y C k ) ∑ i 1 N I ( y i C k ) N , k 1 , 2 , . . . , k P(YC_k)\frac{\sum_{i1}^{N}I(y_iC_k)}{N}, \qquad k1,2,...,k P(YCk)N∑i1NI(yiCk),k1,2,...,k P ( X ( j ) a j l ∣ Y C k ) ∑ i 1 N I ( x ( j ) a j l , y i C k ) ∑ i 1 N I ( y i C k ) P(X^{(j)}a_{jl}|YC_k)\frac{\sum_{i1}^{N}I(x^{(j)}a_{jl},y_iC_k)}{\sum_{i1}^{N}I(y_iC_k)} P(X(j)ajl∣YCk)∑i1NI(yiCk)∑i1NI(x(j)ajl,yiCk) j 1 , 2 , . . . , n ; l 1 , 2 , . . . , S j ; k 1 , 2 , . . . , K \qquad j1,2,...,n; \quad l1,2,...,S_j; \quad k1,2,...,K j1,2,...,n;l1,2,...,Sj;k1,2,...,K对于给定实例 x ( x ( 1 ) , x ( 2 ) , . . . , x ( n ) ) T x{(x^{(1)},x^{(2)},...,x^{(n)})}^T x(x(1),x(2),...,x(n))T计算(这里用到了特征条件独立假设) P ( Y C k ) ∏ j 1 n P ( X ( j ) x ( j ) ∣ Y C k ) , k 1 , 2 , . . . , K P(YC_k)\prod_{j1}^{n}P(X^{(j)}x^{(j)}|YC_k),\qquad k1,2,...,K P(YCk)j1∏nP(X(j)x(j)∣YCk),k1,2,...,K确定实例 x x x的分类 y a r g max C k P ( Y C k ) ∏ j 1 n P ( X ( j ) x ( j ) ∣ Y C k ) yarg\max_{C_k}P(YC_k)\prod_{j1}^{n}P(X^{(j)}x^{(j)}|YC_k) yargCkmaxP(YCk)j1∏nP(X(j)x(j)∣YCk)
