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三层均匀平面光波导#xff1a;
折射率沿 x x x 方向有变化#xff0c;沿 y y y、 z z z 方向没有变化三层#xff1a;芯区( n 1 n_1 n1) 衬底( n 2 n_2 n2) ≥ \geq ≥ 包层( n 3 n_3 n3)包层通常为空…平面光波导_三层均匀平面光波导_射线分析法
三层均匀平面光波导
折射率沿 x x x 方向有变化沿 y y y、 z z z 方向没有变化三层芯区( n 1 n_1 n1) 衬底( n 2 n_2 n2) ≥ \geq ≥ 包层( n 3 n_3 n3)包层通常为空气即 n 3 1 n_31 n31芯区与衬底折射率之差通常为 1 0 − 3 ∼ 1 0 − 1 10^{-3}\sim 10^{-1} 10−3∼10−1芯区一般几微米厚
一、三层均匀平面波导的射线分析法 三层均匀平面波导的传输路线也是叠加模型如上图所示
它可以看作由斜着向上界面行进的平面波以 B B ′ BB^\prime BB′ 为等相位面的平面波与反射2次后再次斜向上运动的平面波以 C C ′ CC^\prime CC′ 为等相位面的平面波相互叠加而成入射光满足全反射条件仅仅能使光被约束在波导中是形成导波的必要条件还有是否可以传输因为导波由2个平面波相叠加所以当两平面波到达同一地点时只有满足相位相同的条件才会相干相长维持光在波导中传播。否则会相互抵消导致无法传播
传输条件——相干叠加条件的推导
约束条件 A B − A ′ B ′ AB-A^\prime B^\prime AB−A′B′ 平面波以 B B ′ BB^\prime BB′ 为等相位面的平面电磁波向前传播第一个发生第二次反射的点 C C C 点其发生全反射相移后仍应与前一入射平面波保持同相。 记全反射在两界面带来的相移分别为 − 2 ϕ 12 -2\phi_{12} −2ϕ12、 − 2 ϕ 13 -2\phi_{13} −2ϕ13 因为 B B ′ BB^\prime BB′、 C C ′ CC^\prime CC′ 是等相位面需要 A B A ′ B ′ ABA^\prime B^\prime ABA′B′ 平面波与 C D C ′ D ′ CDC^\prime D^\prime CDC′D′ 平面波相干相长因此计算 B ′ C ′ B^\prime C^\prime B′C′ 和 B C BC BC 分别带来的光程且两光程差应为 2 π 2\pi 2π 的整数倍
其中入射光的初始状况、三层均匀平面波导的各层折射率、波导芯区厚度是易于获取的参数各表达式最终应当尽可能使用这三类参数表达 B ′ → C ′ B^\prime\to C^\prime B′→C′ 的光程 n 1 B ′ C ′ ‾ n 1 B C ′ ‾ sin θ n 1 ( P C ‾ − P Q ‾ ) sin θ n 1 ( d tan θ − d / tan θ ) sin θ n_1\overline{B^\prime C^\prime}n_1\overline{BC^\prime}\sin\thetan_1(\overline{PC}-\overline{PQ})\sin\thetan_1\left( d\tan\theta-d/\tan\theta \right)\sin\theta n1B′C′n1BC′sinθn1(PC−PQ)sinθn1(dtanθ−d/tanθ)sinθ 其总相移为 k 0 n 1 ( d tan θ − d / tan θ ) sin θ k_0n_1\left( d\tan\theta-d/\tan\theta \right)\sin\theta k0n1(dtanθ−d/tanθ)sinθ B → C B\to C B→C 的光程 n 1 B C ‾ n 1 ⋅ d / cos θ n_1\overline{BC}n_1\cdot d/\cos\theta n1BCn1⋅d/cosθ 其在界面 1,2 和界面 1,3 分别发生了一次全反射带来的相移为 − 2 ϕ 12 − 2 ϕ 13 -2\phi_{12}-2\phi_{13} −2ϕ12−2ϕ13 其总相移为 k 0 n 1 ⋅ d / cos θ − 2 ϕ 12 − 2 ϕ 13 k_0n_1\cdot d/\cos\theta-2\phi_{12}-2\phi_{13} k0n1⋅d/cosθ−2ϕ12−2ϕ13
此时两平面波相干相长即要求 k 0 n 1 ⋅ d / cos θ − 2 ϕ 12 − 2 ϕ 13 − k 0 n 1 ( d tan θ − d / tan θ ) sin θ 2 m π m 0 , 1 , 2 , ⋯ k_0n_1\cdot d/\cos\theta-2\phi_{12}-2\phi_{13}-k_0n_1\left( d\tan\theta-d/\tan\theta \right)\sin\theta2m\pi\quad m0,1,2,\cdots k0n1⋅d/cosθ−2ϕ12−2ϕ13−k0n1(dtanθ−d/tanθ)sinθ2mπm0,1,2,⋯ 此式只与三层平面均匀波导的厚度、折射率入射光的入射角、波数有关其分立的解对应导波的不同模式 将上式简记为 κ d m π ϕ 12 ϕ 13 (模式的本征方程/特征方程) \kappa dm\pi\phi_{12}\phi_{13} \tag{模式的本征方程/特征方程} κdmπϕ12ϕ13(模式的本征方程/特征方程) κ k x n 1 k 0 cos θ n 1 2 k 0 2 − β 2 k 0 n 1 2 − N 2 \kappak_xn_1k_0\cos\theta\sqrt{n_1^2k_0^2-\beta^2}k_0\sqrt{n_1^2-N^2} κkxn1k0cosθn12k02−β2 k0n12−N2 模折射率/有效折射率 N β / k 0 N\beta/k_0 Nβ/k0 β \beta β 为传播常数。通过模式的本征方程/特征方程可以求出不同模式的传播常数 对于 TE、TM其全反射相移公式为 r T E E ⃗ 0 ′ E ⃗ 0 n 1 cos θ 1 − n 2 2 − n 1 2 s i n 2 θ 1 n 1 cos θ 1 n 2 2 − n 1 2 s i n 2 θ 1 e x p [ − j 2 arctan ( n 1 2 sin 2 θ 1 − n 2 2 n 1 cos θ 1 ) ] e − j 2 ϕ T E r_{TE}\frac{\vec E_0^\prime}{\vec E_0}\frac {n_1\cos\theta_1-\sqrt{n_2^2-n_1^2sin^2\theta_1}} {n_1\cos\theta_1\sqrt{n_2^2-n_1^2sin^2\theta_1}} exp\left[ {-j2\arctan\left( \frac{\sqrt{n_1^2\sin^2\theta_1-n_2^2}}{n_1\cos\theta_1} \right)} \right] e^{-j2\phi_{TE}} rTEE 0E 0′n1cosθ1n22−n12sin2θ1 n1cosθ1−n22−n12sin2θ1 exp −j2arctan n1cosθ1n12sin2θ1−n22 e−j2ϕTE r T M H ⃗ 0 ′ H ⃗ 0 n 2 2 cos θ 1 − n 1 n 2 2 − n 1 2 s i n 2 θ 1 n 2 2 cos θ 1 n 1 n 2 2 − n 1 2 s i n 2 θ 1 e x p [ − j 2 arctan ( n 1 2 n 2 2 n 1 2 sin 2 θ 1 − n 2 2 n 1 cos θ 1 ) ] e − j 2 ϕ T M r_{TM}\frac{\vec H_0^\prime}{\vec H_0}\frac {n_2^2\cos\theta_1-n_1\sqrt{n_2^2-n_1^2sin^2\theta_1}} {n_2^2\cos\theta_1n_1\sqrt{n_2^2-n_1^2sin^2\theta_1}} exp\left[ {-j2\arctan\left( \frac{n_1^2}{n_2^2}\frac{\sqrt{n_1^2\sin^2\theta_1-n_2^2}}{n_1\cos\theta_1} \right)} \right] e^{-j2\phi_{TM}} rTMH 0H 0′n22cosθ1n1n22−n12sin2θ1 n22cosθ1−n1n22−n12sin2θ1 exp −j2arctan n22n12n1cosθ1n12sin2θ1−n22 e−j2ϕTM
可以简记为 T E m o d e { ϕ 12 arctan ( P κ ) ϕ 13 arctan ( q κ ) T M m o d e { ϕ 12 arctan ( n 1 2 n 2 2 P κ ) ϕ 13 arctan ( n 1 2 n 3 2 q κ ) TE\ mode \begin{cases} \phi_{12}\arctan\left( \frac P\kappa \right) \\\\ \phi_{13}\arctan\left( \frac q\kappa \right) \\ \end{cases} \\\\ TM\ mode \begin{cases} \phi_{12}\arctan\left( \frac{n_1^2}{n_2^2} \frac P\kappa \right) \\\\ \phi_{13}\arctan\left( \frac{n_1^2}{n_3^2} \frac q\kappa \right) \\ \end{cases} \\ TE mode⎩ ⎨ ⎧ϕ12arctan(κP)ϕ13arctan(κq)TM mode⎩ ⎨ ⎧ϕ12arctan(n22n12κP)ϕ13arctan(n32n12κq) 其本征方程为 T E : κ d m π arctan ( P κ ) arctan ( q κ ) T M : κ d m π arctan ( n 1 2 n 2 2 P κ ) arctan ( n 1 2 n 3 2 q κ ) TE:\kappa dm\pi\arctan\left( \frac P\kappa \right)\arctan\left( \frac q\kappa \right) \\\\ TM:\kappa dm\pi\arctan\left( \frac{n_1^2}{n_2^2} \frac P\kappa \right)\arctan\left( \frac{n_1^2}{n_3^2} \frac q\kappa \right) TE:κdmπarctan(κP)arctan(κq)TM:κdmπarctan(n22n12κP)arctan(n32n12κq)
