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1 什么是特征值和特征向量#xff1f;
1.1 特征值和特征向量这2个概念先放后
1.2 直观定义
1.3 严格定义
2 如何求特征值和特征向量
2.1 方法1#xff1a;结合图形看#xff0c;直观方法求
2.1.1 单位矩阵的特征值和特征向量
2.1.2 旋转矩阵
2.2 根据严格定义…目录
1 什么是特征值和特征向量
1.1 特征值和特征向量这2个概念先放后
1.2 直观定义
1.3 严格定义
2 如何求特征值和特征向量
2.1 方法1结合图形看直观方法求
2.1.1 单位矩阵的特征值和特征向量
2.1.2 旋转矩阵
2.2 根据严格定义的公式 A*Xλ*X 来求
2.3 特征方程
2.4 互异特征值对应的特征向量之间是线性无关的
3 对角化普通矩阵对角化为对角矩阵 2
特征值放大伸缩倍数
特征向量旋转角度 3.3 特征值和特征向量是什么
直接说现在特征向量这个块往哪个方向进行了拉伸各个方向拉伸了几倍。这也让人很容易理解为什么行列式的值就是特征值的乘积。
特征向量也代表了一些良好的性质即这些线在线性变换后没有发生方向的偏移可以逆转只是长度发生了改变。 1 什么是特征值和特征向量
1.1 特征值和特征向量这2个概念先放后
特征值和特征向量这2个概念先放后
先搞清楚为什么会有特征值和特征向量 1.2 直观定义
因为有的向量经过线性组合线性映射后其还是共线方向不变/或刚好相反这时
这些没有发生变换的向量称为特征向量
变换前后的伸缩比例叫做特征值 配图 1.3 严格定义
假设A是n阶方阵X为非零向量如果存在λ 使得如下等式成立
A*Xλ*X
那么λ就是A的特征值非零向量x是A的特征向量 2 如何求特征值和特征向量
2.1 方法1结合图形看直观方法求
2.1.1 单位矩阵的特征值和特征向量
I*XX
因此单位矩阵特征值是1特征向量是向量空间内的任意向量 2.1.2 旋转矩阵 $$ \left[ \begin{matrix} cos(θ) -sin(θ) \\ sin(θ) cos(θ) \\ \end{matrix} \right] $$ 旋转矩阵需要根据具体的转动角度θ来确定
注意θ用弧度值不要用角度值
比如θΠ/2 不共线 θΠ 还是共线但是方向改变了特征值-1 特征向量是所有向量
因为任意向量来和旋转矩阵都是刚好旋转这个弧度值 2.2 根据严格定义的公式 A*Xλ*X 来求
A*Xλ*X
A*X-λ*X0
(A*-λ)*X0
(A*-λ*I)*X0
如果|A*-λ*I|≠0那么(A*-λ*I)*X0 只能是x0,而x不能是零向量因此|A*-λ*I|0
联立方程组求解
|A*-λ*I|0
(A*-λ*I)*X0 |A*-λ*I|0 → |1-λ,1 ;1 ,1-λ |0 → (1-λ)^2-10
λ0
λ2
根据这个带入方程去求特征向量 2.3 特征方程 2.4 互异特征值对应的特征向量之间是线性无关的 3 对角化普通矩阵对角化为对角矩阵
逆天 对角矩阵[λ1,0 ; 0,λ2] APP*Λ
APP-P*Λ*P-
AP*Λ* P-
如果P是正交矩阵那么P-Pt 而Pt 很好求
则AP*Λ* Pt
