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1.通常认知的x与随机变量X
我们通常意义上的 x 是自变量#xff0c;y f(x) 中的自变量。 但是 X 更多意义是 对应法则 f #xff0c;X完整写法是 X(ω) ω ∈ Ω。 X这个对应法则#xff0c;可以将样本点映射到实数轴上。 那么X这…1.随机变量X
1.通常认知的x与随机变量X
我们通常意义上的 x 是自变量y f(x) 中的自变量。 但是 X 更多意义是 对应法则 f X完整写法是 X(ω) ω ∈ Ω。 X这个对应法则可以将样本点映射到实数轴上。 那么X这个对应法则到底是什么又怎么映射的呢
2.两个实例解释 X 如何个映射法。
实例1投一枚硬币出现正面和反面的概率近似1/2. 实例2明天下雨或者晴天的可能均为1/2. 现在我们定义为实质上反应到数学表达上即用X映射
很明显事件 “正 反 雨 晴”是样本点 ω 这些事件反应到数轴上即为“0 1” “ 1 0”. 而表格可知这两个不同的场景都遵循一个规则 都抽象成了 X(ω) 这种规则即 X(ω) 将现实中的事件变成了抽象的数字方便进行数学处理如我们可以引入 微积分 这种强大的工具。
也可以说随机变量 X 将一个随机不确定的过程带入了又具体表示的数学世界将“凌乱的概率” 变的有迹可循(如我们可以用F(x) 表示X的概率分布)。
3.回过头看随机变量 X 的定义 设随机试验 E 的样本空间 Ω { ω } ,如果对于每一个 事件ω ∈ Ω都有唯一的实数 x ∈ R 与之对应。并且 对于 ∀x ∈ R ,有 {ω | X x, ω ∈ Ω}是随机事件则称定义在 Ω 上的实值单值函数 X(ω) 为随机变量记 X.
定义的意思是随机变量是“定义在样本空间 Ω 上而取决于实数轴的函数”叫随机变量。
2.X 的分布函数 F(X) 的理解。
1.定义 设 X 是一个随机变量称函数 F(x) p { X x } (x ∈ R), 为随机变量 X 的分布函数或称 X 服从F(X) 分布记 X ~ F(x)。
2.解析定义 ①X 的分布函数 分布即概率。“X的分布函数又可以说 “X的概率函数”。 通常有幂函数指数函数三角函数。我们发现“幂 指数 三角”都反应了这种函数的规则 “f” f也可以看作一个过程。类比”X的概率函数“是否反应了某种规则呢 当然“X的概率函数”也反应了一种规则。即 概率 。之所以我们很难理解 F(x) 是因为它的对应法则不符合我们通常的认知。 什么什么概率也能是规则当然可以对应法则映射是一个过程那么 求 概率为何不能是一个过程呢 重点综上那么 ”X的分布函数 F(x) p{Xx} 即将 “{Xx}” 这一坨东西经过“P”求概率的过程最终映射成了F(x), 故F(x)就是概率. 那么我们接下来的疑问就是 “{X x}”这一坨了它是个啥凭啥它就可以求概率了 它还真可以求因为{X x}表示的是一个或多个 “样本点” 或 “事件” 。事件当然可以求概率为啥它就表示样本点了呢 重点由上对 X 的理解X是将样本点映射到 数轴 上的一种法则记X(ω) ω ∈ Ω 则 X 与 “x” 数轴上的点 关系为 x X(ω)。现在我们给出 x 的范围即 {X x} 是不是反解的结果就是样本点 ω 。 至此我们已经完整知晓了 “x” 是怎样求出概率的是通过 随机变量 X 反解出 ω 再通过 p 这个过程求出的 概率 F(x)。 而分布函数 F(x) 的对应法则 “F” 正是反应了这一过程也因此由于”X“ 规则的不同导致 F(x) 规则的不同 常见有: ②F(x) p { X x } F(x) p { X x }求的是概率由 x 经过两次映射一次是 逆映射 通过X法则 反解出 样本点ω 再通过一次正映射 p{ } 求出事件概率两次映射规则共同构成从实数轴x 到 现实具体事件概率 的 F法则。 注这里并不关心 P{ } 如何映射的 以及 X 的规则又是个啥我们只关心 F(x) 到底是个啥到底干了啥咋来的为什么要来就可以了。 ③ (x ∈ R) 因为 x 是数轴上的取值当然是R(由上可知)
3.为啥F(x) 不叫 x 的分布函数叫 X 的分布函数
①可能分布二字对于 事件来说 更合适些x还没有经过 X 转换成 ω 。 ②可能这样说不够形象明确。
3.F(X) 的充要条件
1.F(x)的充要条件 ①②③
①F(x)是不减函数
②F(x)是x0的右连续函数x0 ∈ R。
注考研大纲明确规定要求分布函数F(x)定义是F(x) p{X x} ③F(-∞) 0,F(∞) 1 F(-∞) 0 一个事件不包含 F(∞) 1包含全部事件。
4.经典例题
明天写
