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分段线性插值#xff0c;就是将插值点用折线段连接起来逼近f(x)。设已知节点 a x 0 x 1 ⋅ ⋅ ⋅ x n b ax_0x_1x_nb ax0x1⋅⋅⋅xnb上的函数值 f 0 , f 1 , . . . , f n f_0,f_1,...,f_n f0,f1,...,fn就是将插值点用折线段连接起来逼近f(x)。设已知节点 a x 0 x 1 ⋅ ⋅ ⋅ x n b ax_0x_1···x_nb ax0x1⋅⋅⋅xnb上的函数值 f 0 , f 1 , . . . , f n f_0,f_1,...,f_n f0,f1,...,fn记 h k x k 1 − x k , h m a x h k h_kx_{k1}-x_k,h\\max h_k hkxk1−xk,hmaxhk。
称 I h ( x ) I_h(x) Ih(x)为分段线性插值函数如果满足
(1) 记 I h ( x ) ∈ [ a , b ] I_h(x)∈[a,b] Ih(x)∈[a,b];
(2) I h ( x k ) f k ( k 0 , 1 , . . . , n ) I_h(x_k)f_k(k0,1,...,n) Ih(xk)fk(k0,1,...,n);
(3) I h ( x ) I_h(x) Ih(x)在每个区间 [ x k , x k 1 ] [x_k,x_{k1}] [xk,xk1]上是线性函数
则由定义 I h ( x ) I_h(x) Ih(x)在每个小区间 [ x k , x k 1 ] [x_k,x_{k1}] [xk,xk1]上可表示为 I h ( x ) x − x k 1 x k − x k 1 f k x − x k x k 1 − x k f k 1 ( x k ≤ x ≤ x k 1 ) I_h(x)\frac{x-x_{k1}}{x_k-x_{k1}}f_k\frac{x-x_k}{x_{k1}-x_k}f_{k1} \ \ \ (x_k≤x≤x_{k1}) Ih(x)xk−xk1x−xk1fkxk1−xkx−xkfk1 (xk≤x≤xk1)
若用插值基函数表示则I_h(x)在整个区间[a,b]上可表示为 I h ( x ) ∑ j 0 n f j l j ( x ) I_h(x)\sum_{j0}^nf_jl_j(x) Ih(x)j0∑nfjlj(x)
其中基函数 l j ( x ) l_j(x) lj(x)满足条件 l j ( x k ) δ j k ( j , k 0 , 1 , . . . , n ) l_j(x_k)δ_jk(j,k0,1,...,n) lj(xk)δjk(j,k0,1,...,n)。
