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1. 浮点数在内存中的存储
1.1 浮点数的大V表示法
1.2 浮点数的存储格式
1.3 浮点数的存入规则
1.4 浮点数的读取规则
1.5 补充#xff1a;移码与掩码
1.6 题目解析 2. 易错的二进制知识
2.0 符号位到底会不会参与运算#xff1f;
2.0.1 存储前的编码变化运算
…目录
1. 浮点数在内存中的存储
1.1 浮点数的大V表示法
1.2 浮点数的存储格式
1.3 浮点数的存入规则
1.4 浮点数的读取规则
1.5 补充移码与掩码
1.6 题目解析 2. 易错的二进制知识
2.0 符号位到底会不会参与运算
2.0.1 存储前的编码变化运算
2.0.2 存储后的数值算术运算
2.1 整数都以补码进行存储和运算 整型提升的2种情况
2.1.1 存储前的整型提升 与 补码
2.1.2 运算时的整型提升 与 补码补码的运算
2.3 unsigned对数据的本质影响
2.3.1 unsigned控制读取方式(打印方式)不控制数据的存储
2.3.2 unsigned控制运算时的整型提升
2.3.3 易错用%u打印char型数据不代表该数据被unsigned修饰
2.4 图示总结 1. 浮点数在内存中的存储
常⻅的浮点数3.14159、1E10等浮点数家族包括 float、double、long double 类型。 浮点数表⽰的范围在 float.h 中定义
1.1 浮点数的大V表示法 根据国际标准IEEE电⽓和电⼦⼯程协会754任意⼀个⼆进制浮点数V可以表示成下⾯的形式 (−1)^S 表示符号位。当S0V为正数当S1V为负数。 M 表示有效数字M大于等于1小于2。(1 M 2)2^E 表示指数位。 其实这个公式就是二进制的科学计数法这与十进制的科学计数法类似( (-1)^S * M * 10^E ) 举例来说 (1)十进制的5.0写成⼆进制是101.0 相当于 1.01×2^2 。 那么按照大V表示法的格式可以得出S0M1.01E2。 (2)⼗进制的-5.0写成⼆进制是 -101.0 相当于 -1.01×2^2 。 那么S1M1.01E2。 (3)十进制的0.25写成二进制是 0.01相当于 1× 2^(-2) 那么S0M1.0E -2。 1.2 浮点数的存储格式 IEEE 754规定对于32位的浮点数(float) (1)最高的1位存储符号位S (2)接着的8位存储指数位E (3)剩下的23位存储尾数位M IEEE 754规定对于64位的浮点数(double) (1)最高的1位存储符号位S (2)接着的11位存储指数位E (3)剩下的52位存储尾数位M long double类型通常占用更多的内存空间一般是10到12个字节80到96位但在某些系统上可能达到16个字节128位。这里不多做解释。 1.3 浮点数的存入规则
IEEE 754 对于有效数字M和指数E还有⼀些特别规定。 M的存入规则 前⾯说过1≤M2 。也就是说M可以写成 1.xxxxxx 的形式其中 xxxxxx 表示小数部分。IEEE 754 规定在计算机内部保存M时默认这个数的第⼀位总是1因此可以被舍去只保存后面的 xxxxxx 部分。 ⽐如保存1.01的时候只保存01等到读取的时候再把第⼀位的1加上去。
这样做的目的是节省1位有效数字。以32位浮点数为例留给M只有23位将第⼀位的1舍去以后等于可以保存24位有效数字。 E的存入规则 首先E为⼀个无符号整数unsigned int。 这意味着如果E为8位它的取值范围为0~255如果E为11位它的取值范围为0~2047。但是科学计数法中的E是可以出现负数的。 所以IEEE 754规定存⼊内存时E的真实值必须再加上一个中间数偏移量。对于8位的E这个中间数是127(2的8次方是256255 / 2 127)对于11位的E这个中间数是1023。(2的11次方是20482047 / 2 1023) ⽐如2^10的E等于10所以保存成32位浮点数时必须保存成10127137即10001001。 1.4 浮点数的读取规则
由于指数E有特殊情况M的读取也跟着不一样主要分为三种情况 1. E的存入值不全为0或不全为1一般情况 指数E的存入值减去127或1023得到真实值。M的读取得到真实值后再将小数部分(尾数位)前加上第⼀位的1变回1.xxxxxx 的形式。 ⽐如
十进制数0.5 的⼆进制形式为0.1大V表示法为1.0 * 2^(-1)
其指数位E为-1127(中间值)126存入为01111110
而尾数位M是1.0去掉整数部分为0补⻬0到23位 00000000000000000000000则其⼆进制表示形式为:
0 01111110 00000000000000000000000 2. E的存入值全为0 如果是2^(-127)的话这个数太小了无限接近0。由于这样的数字精度不太够IEEE 754规定 M的读取尾数位不再加上第一位的1⽽是当作为 0.xxxxxx 的小数来约分处理。规定指数E等于 -126或者-1022即为真实值。 该情况下的3种意义这样做是为了表示±0以及接近于0的数字。 0符号位为08个(或11个)指数位为全为023个(或52个)尾数位全为0。-0符号位为18个(或11个)指数位为全为023个(或52个)尾数位全为0。接近0的数字8个(或11个)指数位为全为0尾数位不全为0。 解析 你可以理解成有效数字从1.xxxxxx 变成了 0.1xxxxx 的形式既然有效数字向右退位了那么指数部分就要1补位所以E的真实值是1-127或者1-1023。 3. E的存入值全为1 如果是2^(128)的话这个数太大了。这样的数字精度也不太够IEEE 754规定 M的读取此时尾数位也不进行添1操作。此时真实值E无效。 该情况下也有三种意义 正无穷(∞或inf)符号位为0指数位全为1尾数位全为0。负无穷(-∞或-inf)符号位为1指数位全为1尾数位全为0。不存在的数字(NaNNot a Number)指数位全为1尾数位存在1。 1.5 补充移码与掩码
还有几点我想要补充一下 补充1 浮点数指数位的存储和运算使用的不是原码、反码和补码而是移码“偏移量”或“偏移二进制编码”。 补充2 移码的运算规则用二进制存储偏移后的E用十进制来计算真实值的E。指数位虽然是无符号整型但由于移码运算的特殊性二进制存储十进制计算所以指数位不会发生数据截断。 举个例子
假如在float型中E的真实值是-2存入的过程并不是
1111 1110 (-2的补码) 0111 1111 (127的补码) 得到1 0111 1101再截断多出的1位变成0111 1101 (125的补码)
而是这样
存入时的10进制计算-2127125以2进制存入111 1101 (-2的移码)这个就是数学上的二进制数字并不是原码反码或补码取出时的10进制计算先读取111 1101 (2进制数字) 125 (10进制数字)再计算125 -127 -2 补充3 (1)尾数位M的存入 尾数位采取掩码的方式存储。在计算机科学中掩码通常是一个二进制序列用来选择或隐藏特定的数据位。在浮点数的尾数位中中隐藏了有效数字的1 。 (2)尾数位的大小 还没补回1的尾数位序列从左向右位数依次减少最高位是2的-1次方。 补充4 浮点数的计算器 与 整数的计算器是不同的。 (浮点数运算器被设计出来专门处理带有小数点的数值采用不同的运算方式这也是移码和掩码存在的意义 以及 移码运算性质不同的原因) 1.6 题目解析
判断下面这段代码会输出什么
int main()
{int n 9;float *pFloat (float *)n;printf(n的值为%d\n,n);printf(*pFloat的值为%f\n,*pFloat);*pFloat 9.0;printf(num的值为%d\n,n);printf(*pFloat的值为%f\n,*pFloat);return 0;
}
代码结果 这种情况出现的本质是存储的方式与读取的方式不匹配。 代码的上半部分中整数9存入了整型变量n中它的二进制编码是 00000000 00000000 00000000 000010019的补码 %d是以整数的方式读取内存以补码的方式读取读取的结果就是9。%f 是以浮点数的方式读取内存以移码偏码的方式读取由于指数位全是0且尾数位太小精度不够(默认显示6位小数)所以显示的是0.000000。 代码的下半部分中通过指针把浮点数9.0存入n的内存空间中其二进制编码是 【大概的样子】0 01111110 111001100110011001000000 ( 0.9无法用二进制完全表示约等于1.111 * 2^(-1) %d当做整数去读取这里最高的二进制位已经是2^30了所以最终结果是一个很大的整数。 %f 就正常读取一个浮点数所以结果是9.000000。 2. 易错的二进制知识
2.0 符号位到底会不会参与运算
我们知道为了表示区分正负数规定了数据类型的最高位二进制位为符号位。又由于计算机只有加法器没有减法器我们创造了补码。
原码的符号位和补码的符号位是一样的那么符号位其实会不会参与运算呢
这得分两种情况讨论
2.0.1 存储前的编码变化运算
由原码得到补码的过程是原码符号位不变数值位按位取反得到反码再对反码1得到补码。
由补码得到原码的过程是补码符号位不变数值位按位取反得到补码的反码再对该反码1得到原码。 原码、反码、补码 相互转换这些的过程就是编码变化运算。 我们注意到由原码得到补码时符号位并不会发生变化而且该运算发生在数据存储到内存空间之前。所以编码变化运算中的符号位并不会真实参与运算。 计算机执行该运算的硬件是逻辑单元ALU。当需要将一个数的原码转换为补码时计算机会检查原码的最高位符号位如果符号位为0表示正数则原码与补码相同若符号位为1表示负数则需要将除符号位外的其他位取反即0变为11变为0然后整体加1。 2.0.2 存储后的数值算术运算 在数据保存在内存空间后或暂存到内存后此后的一系列算术运算符号位会真实参与到算术运算当中。 比如我们用char计算2-1的结果a 2 - 1。
第一步存储数据
2和-1的数据会暂存到加法器的内存中由于没有减法器我们采用的是补码的加法。
2的char大小的型补码是00000010-1的char型大小的补码是11111111。
第二步存储后的整型提升
由于char型数据太小计算机会自动将他整型提升成int型大小的数据按符号位提升。(紫色是提升后的字节红色是char型数据的符号位)
整型提升后2的补码00000000 00000000 00000000 00000010
整型提升后-1的补码11111111 11111111 11111111 11111111
第三步算术运算
此时才正式进行算术运算两个补码提升后的结果(黄色是进位后的下一个字节)
1 00000000 00000000 00000000 00000001
由于右边第2个二进制位11等于2要进位导致后面的所有二进制位都进位了所以多出了第33位二进制位。
第四步数据截断
因为a是char型数据装不下5个字节大小的数据所以数据截断只剩下低位字节即00000001 从第3步可以看到符号位也真实参与了算术运算上下01等于了1因为前面的数字进1所以符号位最终的结果是“11等于0”。 人们常说数值运算时符号位不计算只计算数值位就行了。其实这么说也不算错由于补码算术运算的特殊性确实造就了这句话的现实意义。误区的来源 但这样理解无疑是片面的符号位也会真实参与到算术运算当中。 2.1 整数都以补码进行存储和运算 整型提升的2种情况
2.1.1 存储前的整型提升 与 补码 补码的存储 对于较小整型的存储(或初始化)会先用较大的数据类型以原码的形式表示出该十进制数字的二进制形式。然后把该较大型数据从原码转换成补码。再对该二进制补码序列进行数据截断。 存储前的整型提升 的特性 在创建字节数较小的变量时系统默认会先开辟4个字节或8个的空间即存储前的整型提升。在默认内存空间中符号位是该空间的最高二进制位。x86环境下符号位是第32位x64环境下符号位是第64位。数据截断后会产生新的符号位。此时的整型提升不会被unsigned影响数据是负数最高位就是1数据是正数最高位就是0。 比如我们要用char存储-10char a -10
第一步用int型空间和原码表示出该数字的二进制形式
-10的二进制原码表示100000000 00000000 00000000 00001010 (红色的是符号位)
第二步通过编码变化运算转换成补码
转换为补码后的结果11111111 11111111 11111111 11110110 (红色的是符号位)
第三步数据截断存入char型空间中
截断和存入的结果11110110新的符号位 2.1.2 运算时的整型提升 与 补码补码的运算 补码的运算 较小的整型会先对补码进行整型提升再对提升后的结果进行运算。提升后的每一个二进制位都会参与运算 合适大小的整型可以直接对补码进行算术运算。 运算时的整型提升 的特性 在字节数较小的数据运算时会先进行整形提升变成较大的数据。会根据符号位进行补位提升。正数补0负数补1。此时的整型提升会被unsigned影响。 例子可以参考2.0.2的示例。 2.3 unsigned对数据的本质影响
2.3.1 unsigned控制读取方式(打印方式)不控制数据的存储 (1)对一个unsigned类型的变量赋值一个负数不会因为unsigned修饰就让数据存储的最高位为0仍然是正常地得储存。 (2)但以%u读取时会把符号位也当做数值位读取。 代码演示
int main()
{unsigned int a -1;printf(以有符号数的形式读取%d\n, a);printf(以无符号数的形式读取%u\n, a);
} -1用二进制存储是
11111111 11111111 11111111 11111111
以%d来读取那就是-1
以%u来读取结果是2^32-1即4294967295。 2.3.2 unsigned控制运算时的整型提升
前面提到过运算时的整型提升会被unsigned影响具体是什么呢 (1) 对于较小的unsigned整型在运算时存储后的数据整型提升不再看最高位是0还是1都统一用0来补位。 例如
int main()
{unsigned char a -1;printf(%u\n, a);return 0;
} -1的存储仍然遵循 “原码表示二进制int型数字 --- 转换为补码 --- 数据截断” 的顺序。所以变量a中-1的存储是11111111。
当以%u (unsigned int)的形式打印时a的数据会先进行整型提升。而且a被unsigned修饰整型提升是用0补位变成
00000000 00000000 00000000 11111111
所以结果是255。 2.3.3 易错用%u打印char型数据不代表该数据被unsigned修饰
我们用一段代码来演示
int main()
{char a 128;printf(%u\n, a);char b -128;printf(%u\n, b);return 0;
} 过程解析
第一步原码表示
128的原码表示00000000 00000000 00000000 10000000
-128的原码表示10000000 00000000 00000000 10000000
第二步补码转换
128的补码不变00000000 00000000 00000000 10000000
-128的补码11111111 11111111 11111111 10000000
第三步数据截断
128 和 -128都只剩下10000000
第四步打印前的整型提升
%u是unsigned int型由于变量a和b都是char型较小的整型就要进行整形提升
且它们都是char型而不是unsigned char型所以符号位仍然存在。
有符号位时按符号位来补位它们都变成
11111111 11111111 11111111 10000000
如果是该数据是unsigned型的那么这里补的就是0而不是1了
第五步打印
由于以%u的形式输出打印的时候把最高位当作数值位读取所以结果就是这么大的数字。 2.4 图示总结
小数据类型的存储 小数据类型的运算和输出 本期分享完毕感谢大家的支持~Thanks♪(ω)
