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假设有一个线性系统#xff0c;在一般情况下#xff0c;它的激励 x ( t ) x(t) x(t)与响应 y ( t ) y(t) y(t)所满足的的关系#xff0c;可用下列微分方程来表示#xff1a; a n y ( n ) a n − 1 y ( n − 1 ) a n − 2 y ( n − 2 ) ⋯ a 1 y…传递函数的推导和理解
假设有一个线性系统在一般情况下它的激励 x ( t ) x(t) x(t)与响应 y ( t ) y(t) y(t)所满足的的关系可用下列微分方程来表示 a n y ( n ) a n − 1 y ( n − 1 ) a n − 2 y ( n − 2 ) ⋯ a 1 y ′ a 0 y b m x ( m ) b m − 1 x ( m − 1 ) b m − 2 x ( m − 2 ) ⋯ b 1 x ′ b 0 x (1) \begin{array}{l}{a_n}{y^{(n)}} {a_{n - 1}}{y^{(n - 1)}} {a_{n - 2}}{y^{(n - 2)}} \cdots {a_1}y {a_0}y\\ {b_m}{x^{({\rm{m}})}} {b_{m - 1}}{x^{({\rm{m - 1}})}} {b_{m - 2}}{x^{({\rm{m - 2}})}} \cdots {b_1}x {b_0}x\end{array}\tag1 any(n)an−1y(n−1)an−2y(n−2)⋯a1y′a0ybmx(m)bm−1x(m−1)bm−2x(m−2)⋯b1x′b0x(1) 其中 a 0 , a 1 , ⋯ , a n , b 0 , b 1 , ⋯ , b m {a_0},{a_1}, \cdots ,{a_n},{b_0},{b_1}, \cdots ,{b_m} a0,a1,⋯,an,b0,b1,⋯,bm均为常数 m , n m,n m,n为正整数 n ≥ m n \ge m n≥m
设 L [ y ( t ) ] Y ( s ) , L [ x ( t ) ] X ( s ) \mathscr{L}[y(t)]Y(s),\mathscr{L}[x(t)]X(s) L[y(t)]Y(s),L[x(t)]X(s),根据Laplace变换的微分性质有 L [ a k y ( k ) ] a k s k Y ( s ) − a k [ s k − 1 y ( 0 ) s k − 2 y ′ ( 0 ) s k − 3 y ′ ′ ( 0 ) ⋯ s k − ( k − 1 ) y ( k − 2 ) ( 0 ) s 0 y ( k − 1 ) ( 0 ) ] ( k 0 , 1 , 2 , ⋯ , n ) {\mathscr L}[{a_k}{y^{(k)}}] {a_k}{s^k}Y(s) - {a_k}[{s^{k - 1}}y(0) {s^{k - 2}}y(0) {s^{k - 3}}y(0) \cdots {s^{k - (k - 1)}}{y^{(k - 2)}}(0) {s^0}{y^{(k - 1)}}(0)]\\(k 0,1,2, \cdots ,n) L[aky(k)]akskY(s)−ak[sk−1y(0)sk−2y′(0)sk−3y′′(0)⋯sk−(k−1)y(k−2)(0)s0y(k−1)(0)](k0,1,2,⋯,n) L [ b k x ( k ) ] b k s k X ( s ) − b k [ s k − 1 x ( 0 ) s k − 2 x ′ ( 0 ) s k − 3 x ′ ′ ( 0 ) ⋯ s k − ( k − 1 ) x ( k − 2 ) ( 0 ) s 0 x ( k − 1 ) ( 0 ) ] ( k 0 , 1 , 2 , ⋯ , m ) {\mathscr L}[{b_k}{x^{(k)}}] {b_k}{s^k}X(s) - {b_k}[{s^{k - 1}}x(0) {s^{k - 2}}x(0) {s^{k - 3}}x(0) \cdots {s^{k - (k - 1)}}{x^{(k - 2)}}(0) {s^0}{x^{(k - 1)}}(0)] \\(k 0,1,2, \cdots ,m) L[bkx(k)]bkskX(s)−bk[sk−1x(0)sk−2x′(0)sk−3x′′(0)⋯sk−(k−1)x(k−2)(0)s0x(k−1)(0)](k0,1,2,⋯,m)
对式子1两边进行Laplace变换并通过整理可得 D ( s ) Y ( s ) − M h y ( s ) M ( s ) X ( s ) − M h x ( s ) D(s)Y(s) - {M_{hy}}(s) M(s)X(s) - {M_{hx}}(s) D(s)Y(s)−Mhy(s)M(s)X(s)−Mhx(s) 即 Y ( s ) M ( s ) D ( s ) X ( s ) M h y ( s ) − M h x ( s ) D ( s ) (2) Y(s) \frac{{M(s)}}{{D(s)}}X(s) \frac{{{M_{hy}}(s) - {M_{hx}}(s)}}{{D(s)}}\tag2 Y(s)D(s)M(s)X(s)D(s)Mhy(s)−Mhx(s)(2) 其中 D ( s ) a n s n a n − 1 s n − 1 ⋯ a 1 s a 0 , D(s) {a_n}{s^n} {a_{n - 1}}{s^{n - 1}} \cdots {a_1}s {a_0}, D(s)ansnan−1sn−1⋯a1sa0, M ( s ) b m s m b m − 1 s m − 1 ⋯ b 1 s b 0 , M(s) {b_m}{s^m} {b_{m - 1}}{s^{m - 1}} \cdots {b_1}s {b_0}, M(s)bmsmbm−1sm−1⋯b1sb0, M h y ( s ) a n y ( 0 ) s n − 1 [ a n y ′ ( 0 ) a n − 1 y ( 0 ) ] s n − 2 [ a n y ′ ′ ( 0 ) a n − 1 y ′ ( 0 ) a n − 2 y ( 0 ) ] s n − 3 ⋯ [ a n y ( n − 2 ) ( 0 ) a n − 1 y ( n − 3 ) ( 0 ) ⋯ a 2 y ( 0 ) ] s [ a n y ( n − 1 ) ( 0 ) a n − 1 y ( n − 2 ) ( 0 ) ⋯ a 1 y ( 0 ) ] , {M_{hy}}(s) {a_n}y(0){s^{n - 1}} [{a_n}y(0) {a_{n - 1}}y(0)]{s^{n - 2}} [{a_n}y(0) {a_{n - 1}}y(0) {a_{n - 2}}y(0)]{s^{n - 3}} \cdots [{a_n}{y^{(n - 2)}}(0) {a_{n - 1}}{y^{(n - 3)}}(0) \cdots {a_2}y(0)]s [{a_n}{y^{(n - 1)}}(0) {a_{n - 1}}{y^{(n - 2)}}(0) \cdots {a_1}y(0)], Mhy(s)any(0)sn−1[any′(0)an−1y(0)]sn−2[any′′(0)an−1y′(0)an−2y(0)]sn−3⋯[any(n−2)(0)an−1y(n−3)(0)⋯a2y(0)]s[any(n−1)(0)an−1y(n−2)(0)⋯a1y(0)], M h x ( s ) b m x ( 0 ) s m − 1 [ b m x ′ ( 0 ) b m − 1 x ( 0 ) ] s m − 2 [ b m x ′ ′ ( 0 ) b m − 1 x ′ ( 0 ) b m − 2 x ( 0 ) ] s m − 3 ⋯ [ b m x ( m − 2 ) ( 0 ) b m − 1 x ( m − 3 ) ( 0 ) ⋯ b 2 x ( 0 ) ] s [ b m x ( m − 1 ) ( 0 ) b m − 1 x ( n − 2 ) ( 0 ) ⋯ b 1 x ( 0 ) ] , {M_{hx}}(s) {b_m}x(0){s^{m - 1}} [{b_m}x(0) {b_{m - 1}}x(0)]{s^{m - 2}} [{b_m}x(0) {b_{m - 1}}x(0) {b_{m - 2}}x(0)]{s^{m - 3}} \cdots [{b_m}{x^{(m - 2)}}(0) {b_{m - 1}}{x^{(m - 3)}}(0) \cdots {b_2}x(0)]s [{b_m}{x^{(m - 1)}}(0) {b_{m - 1}}{x^{(n - 2)}}(0) \cdots {b_1}x(0)], Mhx(s)bmx(0)sm−1[bmx′(0)bm−1x(0)]sm−2[bmx′′(0)bm−1x′(0)bm−2x(0)]sm−3⋯[bmx(m−2)(0)bm−1x(m−3)(0)⋯b2x(0)]s[bmx(m−1)(0)bm−1x(n−2)(0)⋯b1x(0)],
若令 G ( s ) M ( s ) G ( s ) G(s) \frac{{M(s)}}{{G(s)}} G(s)G(s)M(s) G h ( s ) M h y ( s ) − M h x ( s ) D ( s ) {G_h}(s) \frac{{{M_{hy}}(s) - {M_{hx}}(s)}}{{D(s)}} Gh(s)D(s)Mhy(s)−Mhx(s),则式2可写为 Y ( s ) G ( s ) X ( s ) G h ( s ) (3) Y(s) G(s)X(s) {G_h}(s)\tag3 Y(s)G(s)X(s)Gh(s)(3)
式子中 G ( s ) b m s m b m − 1 s m − 1 ⋯ b 1 s b 0 a n s n a n − 1 s n − 1 ⋯ a 1 s a 0 (4) G(s) \frac{{{b_m}{s^m} {b_{m - 1}}{s^{m - 1}} \cdots {b_1}s {b_0}}}{{{a_n}{s^n} {a_{n - 1}}{s^{n - 1}} \cdots {a_1}s {a_0}}}\tag4 G(s)ansnan−1sn−1⋯a1sa0bmsmbm−1sm−1⋯b1sb0(4) 我们称 G ( s ) G(s) G(s)为系统的传递函数。它表达了系统本身的特性而与激励及系统的初始状态无关。 但是 G h ( s ) G_{h}(s) Gh(s)则由激励和系统本身的初值条件所决定。若这些初始条件全为0即 G h ( s ) G_{h}(s) Gh(s)0时式子3可写成 Y ( s ) G ( s ) X ( s ) 或 G ( s ) Y ( s ) X ( s ) (5) \begin{array}{l}Y(s) G(s)X(s) 或 G(s) \frac{{Y(s)}}{{X(s)}}\end{array}\tag5 Y(s)G(s)X(s)或G(s)X(s)Y(s)(5)
式子5表明在零初值条件下系统的传递函数等于其响应的Laplace变换与其激励的Laplace变换之比。
因此当我们知道系统的传递函数后就可以由系统的激励按照式子3或式子5求出其响应的拉普拉斯变换 Y ( s ) Y(s) Y(s),再通过求逆变换可得其响应 y ( t ) y(t) y(t)。
系统的激励 x ( t ) x(t) x(t),系统的响应 y ( t ) y(t) y(t),以及它们的拉普拉斯变换 X ( s ) X(s) X(s), Y ( s ) Y(s) Y(s)和传递函数的关系如图1所示。 图1 系统激励、响应以及传递函数之间的关系
需要说明的是传递函数不表明系统的物理性质。许多性质不同的物理系统可以有相同的传递函数。而传递函数不同的物理系统即使系统的激励相同其响应也是不相同的因此对传递函数的分析和研究就能统一处理各种物理性质不同的额线性系统。 简而言之通过对系统微分方程进行拉普拉斯变换推导出了系统的传递函数 G ( s ) G(s) G(s)。
