摘要

剑指 Offer 62. 圆圈中最后剩下的数字

一、约瑟夫环解析

题目中的要求可以表述为：给定一个长度为 n 的序列，每次向后数 m 个元素并删除，那么最终留下的是第几个元素？这个问题很难快速给出答案。但是同时也要看到，这个问题似乎有拆分为较小子问题的潜质：如果我们知道对于一个长度n - 1 的序列，留下的是第几个元素，那么我们就可以由此计算出长度为 n 的序列的答案。

我们将上述问题建模为函数 f(n, m)，该函数的返回值为最终留下的元素的序号。

首先，长度为n的序列会先删除第m% n 个元素，然后剩下一个长度为n - 1的序列。那么，我们可以递归地求解 f(n - 1, m)，就可以知道对于剩下的 n - 1 个元素，最终会留下第几个元素，我们设答案为 x = f(n - 1, m)。

由于我们删除了第 m % n 个元素，将序列的长度变为 n - 1。当我们知道了 f(n - 1, m) 对应的答案 x 之后，我们也就可以知道，长度为 n 的序列最后一个删除的元素，应当是从 m % n 开始数的第 x 个元素。因此有 f(n, m) = (m % n + x) % n = (m + x) % n。

我们递归计算 f(n, m), f(n - 1, m), f(n - 2, m), ... 直到递归的终点 f(1, m)。当序列长度为 1 时，一定会留下唯一的那个元素，它的编号为 0。

class Solution {public int lastRemaining(int n, int m) {return f(n, m);}public int f(int n, int m) {if (n == 1) {return 0;}int x = f(n - 1, m);return (m + x) % n;}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，需要求解的函数值有n个。
• 空间复杂度：O(n)，函数的递归深度为n，需要使用 O(n)的栈空间。

二、数学 + 迭代

class Solution {public int lastRemaining(int n, int m) {int f = 0;for (int i = 2; i != n + 1; ++i) {f = (m + f) % i;}return f;}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，需要求解的函数值有n个。

• 空间复杂度：O(1)，只使用常数个变量。

博文参考

《leetcode》