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AcWing 1230. K倍区间

题目描述

给定一个长度为 $N$ 的数列，$A_1,A_2,\dots A_N$ ，如果其中一段连续的子序列 $A_i,A_{i+1},\dots A_j$ 之和是 $K$ 的倍数，我们就称这个区间 $[i,j]$ 是 $K$ 倍区间。

你能求出数列中总共有多少个 $K$ 倍区间吗？

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $K$。

以下 $N$ 行每行包含一个整数 $A_i$。

输出格式

输出一个整数，代表 $K$ 倍区间的数目。

数据范围

$1\le N,K\le 100000$,
$1\le A_i\le 100000$

输入样例：

5 2
1
2
3
4
5

输出样例：

6

思路

求区间 $[l,r]$ 的和是 $k$ 的倍数的个数。

求区间和，我们可以通过 前缀和 来求出。

定义 sum[i] 表示第 $1$ 个元素到第 $i$ 个元素的和，那么 s[r] - s[l-1] 就是区间 $[l,r]$ 的和。

若满足条件：区间 $[l,r]$ 的和是k的倍数，即 (s[r] - s[l-1]) % k == 0 ，等价于 s[r] % k == s[l-1] % k 。

说人话，这也就意味着：

如果 s[r] mod k 和 s[l - 1] mod k 的余数相等，那么 s[r] - s[l - 1] 的差值必然是 $k$ 的倍数。

比如：13 % 7 == 20 % 7，则 (20 - 7) % 7 == 0

那么题目就是要我们求 前缀和%k==0 的组合有多少种。

用 cnt[i] 存储目前为止前缀和相同的个数，$i$ 表示这个前缀和的值。

每次用 res 来递加 cnt[i] 相同的个数，前面有几个 前缀和的值 和 当前前缀和 相等，那么这个前缀和就能和前面每一个组成一个组合，所以要 res += cnt[s[i]] ，然后再加上现在的前缀和，即 cnt[s[i]]++ 。

初始化 cnt[0] = 1 ，因为当 s[i] == 0 时，这个前缀和本身就是 $k$ 的倍数，不需要再跟别的前缀和组合，计算结果时就要加上这一个。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;int n, k;
ll s[N];
ll cnt[N];int main()
{cin >> n >> k;ll res = 0;cnt[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++){cin >> s[i];s[i] = (s[i] + s[i - 1]) % k;   //每次前缀和都取模res += cnt[s[i]];   //和前面每一个都组合一下cnt[s[i]]++;   //现在又多了一个}cout << res << endl;return 0;
}

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