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在做题时，用积分中值定理很多时候需要用到去的 ξ \xi ξ是开区间，但在高等数学中的积分中值定理给出的是闭区间，其实这个定理可以中的 ξ \xi ξ在开区间中取得，只是在证明的过程中使用的知识不一样，下面是针对我们的问题介绍这两种形式的积分中值定理以及它们的证明。
（1）闭区间（教材P234性质6）
若 f f f 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上连续，则至少存在一点 ξ ∈ ( a , b ) \xi \in(a, b) ξ∈(a,b) ，使得
∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) \int_a^b f(x) d x=f(\xi)(b-a) ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)
f ( ξ ) = 1 b − a ∫ a b f ( x ) d x f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) d x f(ξ)=b−a1∫abf(x)dx
称等式右端为函数 f ( x ) f(x) f(x) 在闭区间 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上的平均值。
证明：因为 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上连续, 故 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a,b] [a,b] 上存在最大值 M M M 和最小值 m m m
m ≤ f ( x ) ≤ M ⇒ m ( b − a ) ≤ ∫ a b f ( x ) d x ≤ M ( b − a ) ⇒ m ≤ ∫ a b f ( x ) d x b − a ≤ M m \leq \mathrm{f}(x) \leq \mathrm{M} \Rightarrow m(b-a) \leq \int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} f(x) \mathrm{dx} \leq \mathrm{M}(\mathrm{b}-\mathrm{a}) \Rightarrow \mathrm{m} \leq \frac{\int_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}} \mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}}{\mathrm{b}-\mathrm{a}} \leq \mathrm{M} m≤f(x)≤M⇒m(b−a)≤∫abf(x)dx≤M(b−a)⇒m≤b−a∫abf(x)dx≤M
由介值定理 ∃ ξ ∈ [ a , b ] \exists \xi \in[a, b] ∃ξ∈[a,b], 使得 f ( ξ ) = ∫ a b f ( x ) d x b − a f(\xi)=\frac{\int_a^b f(x) d x}{b-a} f(ξ)=b−a∫abf(x)dx
（2）开区间的积分中值定理
若 f ( x ) f(x) f(x) 在 [ a , b ] [a, b] [a,b] 上连续, 则存在 ξ ∈ ( a , b ) \xi \in(a, b) ξ∈(a,b), 使得 ∫ a b f ( x ) d x = f ( ξ ) ( b − a ) \int_a^b f(x) d x=f(\xi)(b-a) ∫abf(x)dx=f(ξ)(b−a)
证明：设 H ( x ) = ∫ a x f ( x ) d x H(x)=\int_a^x f(x) d x H(x)=∫axf(x)dx， 由拉格朗日中值定理
∃ ξ ∈ ( a , b ) \exists \xi \in(a, b) ∃ξ∈(a,b), 使得 H ′ ( ξ ) = H ( b ) − H ( a ) b − a H^{\prime}(\xi)=\frac{H(b)-H(a)}{b-a} H′(ξ)=b−aH(b)−H(a) 即 f ( ξ ) = ∫ a b f ( x ) d x b − a f(\xi)=\frac{\int_a^b f(x) d x}{b-a} f(ξ)=b−a∫abf(x)dx