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本篇是关于异或（^）运算的运用。后期看算法过程中如果再碰到异或的都会收录到本篇中

异或运算

在逻辑学中，逻辑算符异或（exclusive or）是对两个运算元的一种逻辑析取类型，符号为 XOR 或 EOR 或 ⊕（编程语言中常用^）。但与一般的逻辑或不同，异或算符的值为真仅当两个运算元中恰有一个的值为真，而另外一个的值为非真。转化为命题，就是：“两者的值不同”或“有且仅有一个为真”

true ^ true = false
false ^ false = false
true ^ false = true
同理
1 ^ 1 = 0
0 ^ 0 = 0
1 ^ 0 = 1

且满足两个特性：交换律、结合律、归零律、恒等律

交换律：A ^ B = B ^ A
结合律：(A ^ B) ^ C = A ^ (B ^ C)
归零律：A ^ A = 0
恒等律：A ^ 0 = A

有了归零率和结合律，我们就可以轻松证明：

自反：A ^ B ^ B   =    A ^ 0   =    A

题目1

题目：给定一个数组，其中只有一个数出现奇数次，其他都出现偶数次，打印奇数次的数。
解法：结合律和归零律
例子：int[] array = {1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5} 输出 1
思想：

   a ^ b ^ c ^ a ^ d ^ b ^ c ^ d ^ e ^ e ^ e ^ f ^ f 
=  a ^ a ^ b ^ b ^ c ^ c ^ d ^ d ^ e ^ e ^ e ^ f ^ f //分组
=  0 ^ 0 ^ 0 ^ 0 ^ 0 ^ 0 ^ e ^ 0 //两两归零
=  e

代码

public class FindOddOccurrenceNumberUsingXOR {public static int findOddNumber(int[] arr) {int result = 0;for (int num : arr) {result ^= num;}return result;}public static void main(String[] args) {int[] array = {1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5};int oddNumber = findOddNumber(array);System.out.println("奇数个的数字是：" + oddNumber);}
}

题目2

题目：给定一个数组，其中有两个数出现奇数次，其他都出现偶数次，打印奇数次的数。
解法：结合律和归零律
例子：int[] array = {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5} 输出 1,3
思想：

   a ^ b ^ c ^ b
=  a ^ 0 ^ c //两两归零
=  a ^ c
=  x

知道这两个值异或的结果，如何知道两个值呢？自反
A ^ B ^ B = A
对于X转成二进制后，我们知道肯定有一位是1，因为x = a ^ c那么这一位为1的数不是a就是c仅为其中1个，我们假设是a。那么对于整个数组所有数来说，就分了两个阵营。

该位置为1	该位置为0
a	c
d	e,n,f

最后一步判断：因为其他数字都是偶数个，所以^后都是0，只有基数个的数字c^才是1。这样就能获取到a和c的值了。

代码

public class FindTwoOddOccurrenceNumbers {public static int[] findTwoOddNumbers(int[] arr) {int xorResult = 0;for (int num : arr) {xorResult ^= num;}//xorResult最终的值是 5^1// 找到两个奇数个数字的异或结果中的某一位为 1 的位置，讲解如下：// 假如 xorResult = 5 = 101// 减1取反后：~(101-001) = 011// 再和101取&= 001;// 此种算法就是获取一个数的最右一位的1int rightmostSetBit = xorResult & (~(xorResult - 1));int firstNumber = 0;for (int num : arr) {//获取与（其中一个基数个数字）同位置都是1的数字if ((num & rightmostSetBit)== 1) {//其他数字都是偶数个，都是0，所以可以找到（其中一个基数个数字）firstNumber ^= num;}}//自反原则，xorResult ^ firstNumber = (5^1)^1 = 5;return new int[]{firstNumber, xorResult ^ firstNumber};}public static void main(String[] args) {int[] array = {4, 2, 4, 5, 2, 3, 3, 1};int[] result = findTwoOddNumbers(array);System.out.println("两个出现奇数次的数字是：" + result[0] + " 和 " + result[1]);}
}