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重要性采样

前言

离散型随机变量$X$，我们可以通过以下方法求取其期望：

1. 直接计算法，需要知道概率分布：
   $$\mathbb{E}(X)=\sum _{x\in X}\left[p(x)\cdot x\right]$$

2. 采样计算，这时即使$X$概率分布未知，依据大数定律，当采样次数够大时，仍然可以求取期望
   $$\mathbb{E}(X)=\frac{1}{n}\underset{n\to +\infty }{\lim }\sum _{i=0}^{n-1}{x}_i$$

连续型随机变量$X$

1. 直接计算，需要$f$表达式

$$\mathbb{E}(X)={\int }_{x}x\cdot f(x)dx$$

2. 抽样(蒙特卡洛积分估计)，这里不多做介绍

重要性采样

思想：如果已知随机变量$X\sim p_0$，在$p_0$下随机采样了一批数据 { x i } ∼ p 0 \{x_i\}\sim p_0 {xi​}∼p0​，现在要求随机变量$X\sim p_1$下的期望，则：
$${\mathbb{E}}_{X\sim p_1}[X]=\sum _x{p}_1(x)\cdot x=\sum _x{p}_0(x)\frac{p_1(x)}{p_0(x)}\cdot x={\mathbb{E}}_{X\sim p_0}[f(X)]$$
那么就有如下几个问题：

1. 对于离散型随机变量，为什么$p_1(x)$已知，不直接计算期望呢？

   • 因为有时候我们已经根据$p_0$采样了一些数据，再用$p_1$重新采样计算一遍，会增加很多计算量。
   • 因为有些时候不方便对$p_1$采样
   • 在强化学习中，我们根据一个策略采样，通过重要性采样可以求出另一个策略的期望，是一种On Policy向Off Policy转换的思想。

2. 对于连续型随机变量，为什么$p_1(x)$已知，不直接计算期望呢？

   理论上不可能完全求出概率密度函数，所以无法从理论上计算期望，只能估计。

   例如，如果我们通过神经网络来表示$f$，那么对任意的输入$x$，我们都可以求出$f(x)$，但是这并不代表我们求出$f$的函数表达式，更无法进一步求积分。我们只是能从数值上计算出$f(x)$，神经网络本身就是一个黑盒。

综上所述，重要性采样使得我们能够从behavior policy采样，然后去估计target policy的期望，从而使得On Policy的算法转换为Off Policy