找出给定方程的正整数解

难度：中等

给你一个函数 f(x, y) 和一个目标结果 z，函数公式未知，请你计算方程 f(x,y) == z 所有可能的正整数 数对 x 和 y。满足条件的结果数对可以按任意顺序返回。

尽管函数的具体式子未知，但它是单调递增函数，也就是说：

• f(x, y) < f(x + 1, y)
• f(x, y) < f(x, y + 1)

函数接口定义如下：

interface CustomFunction {
public:// Returns some positive integer f(x, y) for two positive integers x and y based on a formula.int f(int x, int y);
};

你的解决方案将按如下规则进行评判：

• 判题程序有一个由 CustomFunction 的 9 种实现组成的列表，以及一种为特定的 z 生成所有有效数对的答案的方法。
• 判题程序接受两个输入：function_id（决定使用哪种实现测试你的代码）以及目标结果 z 。
• 判题程序将会调用你实现的 findSolution 并将你的结果与答案进行比较。
• 如果你的结果与答案相符，那么解决方案将被视作正确答案，即 Accepted 。

示例 1：

输入：function_id = 1, z = 5
输出：[[1,4],[2,3],[3,2],[4,1]]
解释：function_id = 1 暗含的函数式子为 f(x, y) = x + y
以下 x 和 y 满足 f(x, y) 等于 5：
x=1, y=4 -> f(1, 4) = 1 + 4 = 5
x=2, y=3 -> f(2, 3) = 2 + 3 = 5
x=3, y=2 -> f(3, 2) = 3 + 2 = 5
x=4, y=1 -> f(4, 1) = 4 + 1 = 5

示例 2：

输入：function_id = 2, z = 5
输出：[[1,5],[5,1]]
解释：function_id = 2 暗含的函数式子为 f(x, y) = x * y
以下 x 和 y 满足 f(x, y) 等于 5：
x=1, y=5 -> f(1, 5) = 1 * 5 = 5
x=5, y=1 -> f(5, 1) = 5 * 1 = 5

二分查找

思路：

1. 先用二分查找x的最小值和最大值
2. 再在x的这个区间中，二分查找y值

复杂度分析：

• 时间复杂度： $O(m\log n)$，其中 $m$ 是 $x$ 的取值数目，$n$ 是 $y$ 的取值数目。
• 空间复杂度： $O(1)$。返回值不计入空间复杂度。

"""This is the custom function interface.You should not implement it, or speculate about its implementationclass CustomFunction:# Returns f(x, y) for any given positive integers x and y.# Note that f(x, y) is increasing with respect to both x and y.# i.e. f(x, y) < f(x + 1, y), f(x, y) < f(x, y + 1)def f(self, x, y):"""class Solution:def findSolution(self, customfunction: 'CustomFunction', z: int) -> List[List[int]]:# 求 x 可能的最大值l1, r1 = 1, 1000while l1 <= r1:   mid = (l1 + r1) // 2 if customfunction.f(mid, 1) > z:r1 = mid - 1else:l1 = mid + 1# 求 x 可能的最小值     l2, r2 = 1, l1while l2 <= r2:   mid = (l2 + r2) // 2 if customfunction.f(mid, 1000) < z:l2 = mid + 1else:r2 = mid - 1# 求 x 合理区间内，和 y 可能的数组res = []for i in range(l2, l1):l, r = 1, 1000while l <= r:mid = (l + r) // 2if customfunction.f(i, mid) == z:res.append([i, mid])breakelif customfunction.f(i, mid) > z:r = mid - 1else:l = mid + 1return res

双指针

思路：
假设 $x_1<x_2$，且 $f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)=z$，显然有 $y_1>y_2$。因此我们从小到大进行枚举 $x$，并且从大到小枚举 $y$，当固定 $x$ 时，不需要重头开始枚举所有的 $y$，只需要从上次结束的值开始枚举即可。
有个思路是用二分查找缩小x的范围，理论上应该更快。

复杂度分析：

• 时间复杂度： $O(m+n)$，其中 $m$ 是 $x$ 的取值数目，$n$ 是 $y$ 的取值数目。
• 空间复杂度： $O(1)$。返回值不计入空间复杂度。

"""This is the custom function interface.You should not implement it, or speculate about its implementationclass CustomFunction:# Returns f(x, y) for any given positive integers x and y.# Note that f(x, y) is increasing with respect to both x and y.# i.e. f(x, y) < f(x + 1, y), f(x, y) < f(x, y + 1)def f(self, x, y):"""class Solution:def findSolution(self, customfunction: 'CustomFunction', z: int) -> List[List[int]]:y = 1000res = []for x in range(1, 1001):while y and customfunction.f(x, y) > z:y -= 1if y == 0:breakif customfunction.f(x, y) == z:res.append([x, y])return res

源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/find-positive-integer-solution-for-a-given-equation