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news 2026/4/7 9:04:56

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给定一长度为m的整数数组

$A=\left [ a_{1},a_{2}\cdots a_{m} \right ]$

，其中有p种不为0的数出现了奇数次，其他数都出现了偶数次，找到这p个数。

要求：时间复杂度不大于O(n)，空间复杂度不大于O(1)。

由于时间复杂度不大于O(n)，则不能在遍历数组中嵌套遍历数组。而空间复杂度不大于O(1)，则不能开辟数量上优势或等势于数组长度的内存空间。这需要将数组元素的信息压缩到一个有限的内存空间里，因此需要按位运算。

按位异或运算⊕是具有如下性质的二元运算：0⊕0=0，1⊕0=1，0⊕1=1，1⊕1=0，并且满足交换率、结合率。则0是⊕的单位元，即对于任意的二进制数a，都有a⊕0=0⊕a=a。而且a与自身互为逆元，即a⊕a=0。记

$\begin{matrix} \overset{t}{\underset{i=1}{\bigoplus } }a_{i} \end{matrix}=\underset{t}{\underbrace{a_{1}\oplus a_{2}\oplus \cdots \oplus a_{t}}}$

那么，对于任意正整数k，有：

$\begin{matrix} \overset{2k}{\underset{}{\bigoplus } }a \end{matrix}=\begin{matrix} \underbrace{a\oplus a\oplus \cdots \oplus a}\\ 2k \end{matrix}=\begin{matrix} \underbrace{\left ( a\oplus a \right )\oplus\left ( a\oplus a \right )\oplus \cdots\left ( a\oplus a \right ) }\\ k \end{matrix}=\begin{matrix} \underbrace{0\oplus0\oplus\cdots \oplus 0}\\ k \end{matrix}=0,$

$\begin{matrix} \overset{2k+1}{\underset{}{\bigoplus } }a \end{matrix}=\begin{matrix} \underbrace{a\oplus a\oplus \cdots \oplus a}\\ 2k+1 \end{matrix}=\left (\begin{matrix} \overset{2k}{\underset{}{\bigoplus } }a \end{matrix} \right )\oplus a=a$

对于给定的这个题目，当p=1时，设 $\chi$ 出现了2k+1次，其余的数都出现偶数次，则根据上述的结论有：

$\bigoplus A=\begin{matrix} \overset{2k+1}{\underset{}{\bigoplus } }\chi \end{matrix}= \chi$

即将A中所有元素取异或运算即是此问题的解。

当p=2时，取 $\bigoplus A=b$ ，则必然b≠0，否则可以推出这两个数相等，从而产生悖论。取 $c=b\wedge \left (\bar{b}+1 \right )=2^{s-1}$ ，s为c的二进制表示中从后数第一个为1的位数。

遍历集合A，使每个元素都和c做按位与运算，结果只能是0或者c。取结果为c的元素组成子集A'，由于b的第s位是1，则两个目标数字不会都是A'的元素，否则经过⊕运算，s位的值是0的话，如果b中没有某位是1的数字，则b=0，从而产生矛盾。这样，就将问题转化成了在集合A'中查找只有一种非零整数出现奇数次的问题。即求出 $\chi _{1}=\bigoplus A'$ 为其中的一个解。