3.5 基，维数与坐标

\quad 本节，继续研究线性空间的结构。一般地，设 $V$ 是数域 $K$ 上的一个线性空间。

\quad 首先，我们先将“线性相关”与“线性无关”的概念由“有限”向“无限”推广。

对比其它高等代数教程，邱老师在这一节非常巧妙的将“有限维”与“无限维”统一在了一起！

定义 1. 线性空间子集的线性相关与线性无关：
（1）$V$ 的一个有限子集 { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1​,α2​,⋯,αs​} 线性相关 $:⟺$ 向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性相关；
（2）$V$ 的一个有限子集 { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1​,α2​,⋯,αs​} 线性无关 $:⟺$ 向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_s$ 线性无关；
（3）$V$ 的一个无限子集 $S$ 线性相关 $:⟺$ 存在 $S$ 的一个有限子集线性相关；
（4）$V$ 的一个无限子集 $S$ 线性无关 $:⟺$ $S$ 的任一个有限子集都线性无关。

例 1：平面 $\pi$ 上的任意两个不共面的向量可成为该平面的一个基。

定义 2. 极大线性无关集与基：设 $V$ 是数域 $K$ 上的一个线性空间。$V$ 的一个子集 $S$ 如果满足：
（1）$S$ 是线性无关的；
（2）对于 $\forall \mathbf{\beta }\in V\backslash S$（如果还有的话），有 S ∪ { β } S \cup \{\boldsymbol{\beta}\} S∪{β} 线性相关，
则称 $S$ 为 $V$ 的一个 极大线性无关集。

\quad 可以看到，“极大线性无关集”的概念以及与“基”相近了，不过我们需要排除一些意外情况，比如 V = { 0 } V =\{\boldsymbol{0}\} V={0}.

\quad 由 前一节 的讨论，我们知道 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 是线性相关的，因此，若 V ≠ { 0 } V \ne \{\boldsymbol{0}\} V={0}，则称 $V$ 的一个极大线性无关集为 $V$ 的一个 基。

\quad 如果将上述定义推广到 V = { 0 } V =\{\boldsymbol{0}\} V={0} 的情形，则需要做一些规定：空集 $\varphi$ 是线性无关的。之后再进行分析：若 V = { 0 } V =\{\boldsymbol{0}\} V={0}，由于
（1）$\varphi$ 是线性无关的；
（2）对于 $0\in V\backslash \varphi$，有 ϕ ∪ { 0 } = { 0 } \phi \cup \{\boldsymbol{0}\} = \{\boldsymbol{0}\} ϕ∪{0}={0} 线性相关，
由 定义 2，$\varphi$ 是 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 的一个极大线性无关集，此时，我们称 $\varphi$ 是 $V$ 的一个基。

• 简单来讲，若规定“空集是线性无关的”，则线性空间的一个极大线性无关集，就是其的一个基。
• 定义 2 是合理的，但我们一般不会采用这个定义，因为这个定义比较抽象，不太直观。

定义 3. 基：设 $V$ 是数域 $K$ 上的一个线性空间。$V$ 的一个子集 $S$ 若满足：
（1）$S$ 是线性无关的；
（2）$V$ 中的任一向量可由 $S$ 中的有限多个向量线性表出，
则称 $S$ 是 $V$ 的一个 基。

\quad 另外，
（1）若 S = { α 1 , α 2 , ⋯ , α r } S = \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{r}\} S={α1​,α2​,⋯,αr​}（即 $S$ 为有限集），也称向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_r$ 是 $V$ 的一个（有序）基；
（2）规定： $\varphi$ 是线性无关的；
（3）规定：线性空间 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 的一个基是 $\varphi$。

\quad 相较于定义 2，在定义 3 的基础上，只能规定"线性空间 { 0 } \{\boldsymbol{0}\} {0} 的一个基是 $\varphi$"，而由定义 2 是可以直接推出的。

\quad 现在思考一个问题：是否任一个线性空间都有基？答案是肯定的，详情请参见 高等代数——大学创新教材（下册） $P_{158}\sim P_{159}$。

定义 4. 有限维与无限维：
（1）若 $V$ 有一个基是 $V$ 的有限子集，则称 $V$ 是 有限维的；
（2）若 $V$ 有一个基是 $V$ 的无限子集，则称 $V$ 是 无限维的。

定理 1：若 $V$ 是有限维的，则 $V$ 的任意两个基所含个数相等。

证明：

\quad 一般地，设向量组 { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1​,α2​,⋯,αn​} 是 $V$ 的一个基，任取 $V$ 的另一个基 $S$，

（1）若 $S$ 所含的向量个数 $>n$，则在 $S$ 中至少可取 $n+1$ 个向量 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_{n+1}$。显然，向量组 { β 1 , β 2 , ⋯ , β n + 1 } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{n+1}\} {β1​,β2​,⋯,βn+1​} 可由向量组 { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1​,α2​,⋯,αs​} 线性表出，由于 $n+1>n$，因此 ${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_{n+1}$ 线性相关，从而产生矛盾。

（2）设 $S$ 中所含向量的个数 $\le n$，不妨设为 $m$。显然有

{ α 1 , α 2 , ⋯ , α n } ≅ { β 1 , β 2 , ⋯ , β m } , \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} \cong \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},\cdots,\boldsymbol{\beta}_{m}\}, {α1​,α2​,⋯,αn​}≅{β1​,β2​,⋯,βm​},

等价的线性无关的向量组所含向量的个数相等，因此 $m=n$.

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推论：若 $V$ 是无限维的，则 $V$ 的任意一个基都是无限维的。

定义 5. 维数：
（1）若 $V$ 是有限维的，则称 $V$ 的一个基所含向量的个数为 $V$ 的 维数。记作：$\dim V$。
（2）若 $V$ 是无限维的，则将 $V$ 的维数记作 $\dim V=\infty$。
（3）若 V = { 0 } V = \{\boldsymbol{0}\} V={0}，则 $\dim V=0$。

命题 1：设 $V$ 是 $n$ 维的，则 $V$ 中任意 $n+1$ 个向量都线性相关。

命题 2：设 $\dim V=n$， S = { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } S = \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} S={α1​,α2​,⋯,αn​} 是 $V$ 的一个基，则 $V$ 中任一向量 $\mathbf{\alpha }=a_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +a_n{\mathbf{\alpha }}_n$ 的表出方式唯一。

定义 6. 坐标：设 $\dim V=n$， { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1​,α2​,⋯,αn​} 是 $V$ 的一个基，向量 $\mathbf{\alpha }=a_1{\mathbf{\alpha }}_1+\cdots +a_n{\mathbf{\alpha }}_n\in V$，则称 $\mathbf{\alpha }$ 的 坐标 为：
$$\left(\begin{array}{c}{\mathbf{a}}_1\\ {\mathbf{a}}_2\\ ⋮\\ {\mathbf{a}}_n\end{array}\right)$$

命题 3：设 $\dim V=n$，则 $V$ 中任意 $n$ 个线性无关的向量都是 $V$ 的一个基。

命题 4：设 $\dim V=n$，若 $V$ 中任一向量可由向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 线性表出，则集合 { α 1 , α 2 , ⋯ , α n } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},\cdots,\boldsymbol{\alpha}_{n}\} {α1​,α2​,⋯,αn​} 是 $V$ 的一个基。

命题 5：设 $\dim V=n$，则 $V$ 的任意一个线性无关的向量组都能扩充成 $V$ 的一个基。

命题 6：设 $\dim V=n$，$W$ 是 $V$ 的一个子空间，则 $\dim W\le \dim V$。

命题 7：向量组 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n$ 的一个极大线性无关组是 $<{\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_n>$ 的一个基。

命题 8：关于向量组的生成子空间，我们有：
( < α 1 , α 2 , ⋯ , α s > = < β 1 , β 2 , ⋯ , β t > ) ⟺ ( { α 1 , α 2 , ⋯ , α s } ≅ { β 1 , β 2 , ⋯ , β t } ) \left( <\boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots ,\boldsymbol{\alpha }_s>=<\boldsymbol{\beta }_1,\boldsymbol{\beta }_2,\cdots ,\boldsymbol{\beta }_t> \right) \,\,\Longleftrightarrow \left( \left\{ \boldsymbol{\alpha }_1,\boldsymbol{\alpha }_2,\cdots ,\boldsymbol{\alpha }_s \right\} \cong \left\{ \boldsymbol{\beta }_1,\boldsymbol{\beta }_2,\cdots ,\boldsymbol{\beta }_t \right\} \right) (<α1​,α2​,⋯,αs​>=<β1​,β2​,⋯,βt​>)⟺({α1​,α2​,⋯,αs​}≅{β1​,β2​,⋯,βt​})