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定义：

在数学和计算中，L2 范数是一种用于测量向量长度或大小的方法，也被称为欧几里得范数。对于一个 n 维向量 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$，其 L2 范数定义为：
$$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$$

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解释：

• 几何意义：L2 范数表示从原点到向量终点的直线距离，即向量在欧几里得空间中的长度。
• 计算方法：将向量各分量的平方求和，然后取平方根。

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性质：

1. 非负性：$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2\ge 0$，且只有当 $\mathbf{x}=0$ 时，$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=0$。

2. 齐次性（正比例性）：对于任何实数 $\alpha$，有 $\Vert \alpha \mathbf{x}{\Vert }_2=|\alpha |\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2$。

3. 三角不等式：对于任意向量 $\mathbf{x},\mathbf{y}$，有
   $$\Vert \mathbf{x}+\mathbf{y}{\Vert }_2\le \Vert \mathbf{x}{\Vert }_2+\Vert \mathbf{y}{\Vert }_2$$

4. 平移不变性：L2 范数只与向量的方向和长度有关，与其位置无关。

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举例：

• 二维向量：对于向量 $\mathbf{x}=(3,4)$，其 L2 范数为：
  $$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5$$

• 三维向量：对于向量 $\mathbf{x}=(1,2,2)$，其 L2 范数为：
  $$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_2=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=3$$

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应用：

1. 机器学习：在正则化方法中，如 Ridge 回归（岭回归），使用 L2 范数来防止过拟合。
2. 优化算法：在许多优化问题中，L2 范数用于定义损失函数或约束条件。
3. 信号处理：用于衡量信号的能量或误差大小。
4. 计算机视觉：用于衡量图像或特征向量之间的相似度。

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与其他范数的比较：

• L1 范数：定义为向量各分量绝对值之和：
  $$\Vert \mathbf{x}{\Vert }_1=|x_1|+|x_2|+\cdots +|x_n|$$

• L∞ 范数：定义为向量各分量绝对值的最大值：
  ∥ x ∥ ∞ = max ⁡ { ∣ x 1 ∣ , ∣ x 2 ∣ , … , ∣ x n ∣ } \| \mathbf{x} \|_\infty = \max\{ |x_1|, |x_2|, \dots, |x_n| \} ∥x∥∞​=max{∣x1​∣,∣x2​∣,…,∣xn​∣}

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总结：

L2 范数是衡量向量长度的标准方法，广泛应用于数学、物理和工程领域。它具有良好的数学性质，能有效地描述向量的特征和性质，是分析和计算中常用的工具。