概率论面试题

1. 一个活动，n个女生手里拿着长短不一的玫瑰花，无序的排成一排，一个男生从头走到尾，试图拿更长的玫瑰花，一旦拿了一朵就不能再拿其他的，错过了就不能回头，问最好的策略？

答：首先确定概率模型，真的很难理解啊！下面这三行公式绕的脑壳疼，其实就是获取“拿到最长的玫瑰花”的最终条件被分解成为两个更容易求解的小条件，即：（1）抽到最长的玫瑰花的概率；（2）在确定最长玫瑰花位置的条件下选中该玫瑰花。

$$\begin{array}{rl}P& =P(拿到最长的玫瑰花)\\ & =P(最长的玫瑰花\cdot 拿到该玫瑰花)\\ & =P(最长的玫瑰花)\ast P(拿到该玫瑰花|最长的玫瑰花)\end{array}$$

现在求取这两个小条件概率，第一条（1），即

$$P(最长的玫瑰花)=\frac{1}{n}$$

其中，n为玫瑰花的总数。

第二条非常头疼，这里要充分理解这个条件概率的价值，那便是我们已经知道了最长的玫瑰花在什么位置，那么这样的话就可以通过级数来解决这个问题，具体的图像就不画了，可以参考这个up主讲的视频，挺不错的,这里面的“排队”说法太顶了，直接粘贴图片了。

注：图片搬运自上文所提的UP主的视频中，有兴趣的朋友可以自行观看，讲得很不错。

其中S便是用于进行后续判断的一个位置点，我们所需要的便是获取S点之后的大于1~S之间最大值的值，即：

$$\begin{array}{rl}P(拿到该玫瑰花|最长的玫瑰花)& =\frac{S}{S}+\frac{S}{S+1}+\cdots +\frac{S}{n-1}\\ & =S\ast (\frac{1}{S}+\frac{1}{S+1}+\cdots +\frac{1}{n-1})\\ & =S\ast \sum _{i=S}^{n-1}\frac{1}{i}\end{array}$$

这样的话，最后的P就为：

$$\begin{array}{rl}P& =\frac{S}{n}\ast \sum _{i=S}^{n-1}\frac{1}{i}\\ & =\frac{S}{n}{\int }_{\frac{S}{n}}^{\frac{n-1}{n}}\frac{1}{x}dx\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}P& =\sum _{i=S}^{n-1}\frac{1}{i}\\ & =\frac{1}{S}+\frac{1}{S+1}+\cdots +\frac{1}{n-1}\\ & =\frac{1}{n}\ast (\frac{1}{\frac{S}{n}}+\frac{1}{\frac{S+1}{n}}+\cdots +\frac{1}{\frac{n-1}{n}})\\ & =\frac{1}{n}\ast \sum _{i=\frac{S}{n}}^{\frac{n-1}{n}}\frac{1}{\frac{i}{n}}\\ & =\frac{S}{n}{\int }_{\frac{S}{n}}^{\frac{n-1}{n}}\frac{1}{x}dx\end{array}$$

$$\frac{1}{n}便是每一个小条宽度，而高度则分别是\frac{1}{\frac{S}{n}}、\frac{1}{\frac{S+1}{n}}\cdots$$

图示如下：

总结

  学无止境，条件概率、黎曼积分、级数这些知识点都快忘干净了，慌张，抓紧补上吧。