Games 102

P2 数据拟合

拟合数据的好坏

• 分段线性插值函数$y=f_1(x)$，数据误差为0，只有$C_0$连续。
• 光滑插值函数$y=f_2(x)$，数据误差为0，可能被Noice带歪，导致函数性质不好，预测而不可靠
• 逼近拟合函数$y=f_3(x)$，允许一定的误差

三部曲方法论

• 到那找：确定某个函数集合/空间
• 找那个：度量哪个函数是好的=确定loss
• 怎么找：求解或优化
  • 如果转化为系数的方程组是欠定的(有无穷多解)，则修正模型：Lasso、岭回归、稀疏正则项

多项式插值定理

• 拉格朗日多项式
• 牛顿插值多项式
• 病态问题
  • 数据微笑的变化可能会导致插值结果变化较大
• 函数相互抵消
  • 单项式，从低次幂到高次幂占据的重要性优先级依次下降。
  • 使用正交多项式基
• 结论
  • 多项式插值不稳定
  • 振荡现象：多项式随着插值点数的增加而摆动

多项式逼近

• 为什么做逼近
  • 数据包含噪声
  • 追求更紧凑的表达
  • 计算简单、更稳定
• 最小二乘逼近
  • $$\underset{f\in span(B)}{\mathrm{argmin}}\sum _{j=1}^m(f(x_j)-y_j{)}^2$$

函数空间及基函数

• Bernstein多项式逼近
  • 基函数：$$b_{n,j}=C_n^j{x}^j(1-x{)}^{n-j}$$
• 优势
  • 正性、权性(和为1)->凸包性
  • 变差缩减性
  • 递归线性求解方法
  • 细分性

RBF函数插值/逼近

• RBF函数的一维形式即为Gauss函数
  • $$g_{\mu ,\sigma }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$
• RBF函数
  • $$f(x)=b_0+\sum _{i=1}^n{b}_i{g}_i(x)$$

从另一个角度来看拟合函数

• Gauss拟合函数
  • 一般的Gauss函数表达为标准Gauss函数的形式
    • $g_{\mu ,\sigma }(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{x}{\sigma }-\frac{\mu }{\sigma }{)}^2}=g_{0,1}(ax+b)$
    • $a=\frac{1}{\sigma },b=\frac{\mu }{\sigma }$
    • 这样就可以同时优化$\mu$和$\sigma$
    • $f(x)=b_0+{\sum }_{i=1}^n{b}_i{g}_i(x)$->$f(x)=w_0+{\sum }_{i=1}^n{w}_i{g}_{0,1}(a_{i}x+b_i)$

P3 参数曲线拟合

多元函数