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🍉二叉搜索树的性质

二叉搜索树又称二叉排序树，它可以是一棵空树，也可以是有以下性质的二叉树

• 若左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
• 若右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树

因为左节点 < 根节点 < 右节点，所以二叉搜索树中序遍历结果是升序序列

🍉实现二叉搜索树

🍌插入

插入成功返回true，插入失败返回false
（注意：如果树中已经有关键字key，那我们就不能再插入了）

    //插入一个关键字keypublic boolean insert(int key) {TreeNode node = new TreeNode(key);if(root == null) {root = node;return true;}TreeNode cur = root;TreeNode parent = null;  //保存cur的双亲节点while(cur != null) {  //cur若为空，说明找到插入位置了if(cur.key < key) {parent = cur;cur = cur.right;} else if(cur.key > key) {parent = cur;cur = cur.left;} else {  //树中已经有key，不能插入return false;}}//比较key和双亲节点的key，确定key要插在parent的左边还是右边if(key > parent.key)parent.right = node;if(key < parent.key)parent.left = node;return true;}

🍌查找

根据二叉搜索树的特点，key比当前节点的值小，就往左子树找；反之则往右子树找

    //查找key是否存在public TreeNode search(int key) {if(root == null)return null;TreeNode cur = root;while(cur != null) {if(cur.key < key) {cur = cur.right;} else if(cur.key > key) {cur = cur.left;} else {return cur;}}return null;  //到这里说明找不到，返回null}

🍌删除

这个操作比较麻烦，因为它需要处理多种情况。大方向上分为三种情况讨论：
假设根节点为root，待删除节点是cur，它的双亲节点为parent

1. cur的左节点为空
   ①cur就是根节点（此时parent不存在），只需让root = root.right
   ②cur不是根节点，是parent的左节点
   ③cur不是根节点，是parent的右节点
   ②和③的分析如下图：
   

2. cur的右节点为空
   这个和1的分析思路是一样的，就不多赘述了

3. cur的左右节点都不为空
   使用替换法进行删除：
   就是从cur的左子树中找到最右侧的节点（这个节点是左子树中关键字最大的）max，或者从右子树中找到最左侧节点（关键字最小）min，用它的值替换掉cur的值，然后再把max或min删掉
   其实就是转化为1和2的问题，因为max和min的左节点和右节点肯定有一个为空
   
   来看下代码实现：

    //删除key的值public boolean remove(int key) {if(root == null)return false;TreeNode cur = root;TreeNode parent = null;while(cur != null) {if(cur.key < key) {parent = cur;cur = cur.right;} else if(cur.key > key) {parent = cur;cur = cur.left;} else {  //找到cur了，准备把它删了if(cur.left == null) {if(cur == root) {root = root.right;return true;} else {if(cur == parent.left)parent.left = cur.right;if(cur == parent.right)parent.right = cur.right;}} else if(cur.right == null) {if(cur == root) {root = root.left;return true;} else {if(cur == parent.left)parent.left = cur.left;if(cur == parent.right)parent.right = cur.left;}} else {  //左右都不为空TreeNode target = cur.right;  //让target去右子树找到最左边的节点TreeNode targetParent = cur;while(target.left != null) {targetParent = target;target = target.left;}//将tmp的关键字赋给curcur.key = target.key;//删除tmp节点if(targetParent.left == target) {targetParent.left = cur.right;} else {targetParent.right = cur.right;}}return true;}}return false;}

🍉性能分析

插入和删除等操作都必须先查找，所以查找的效率代表二叉搜索树中各个操作的性能
每次查找都要比较key和当前节点的值。
那么在最好的情况下，二叉搜索树是完全二叉树，平均比较次数是logN
而在最坏的情况下，此时二叉搜索树退化为单支树，平均比较次数就是N / 2