3D空间点到直线的距离

3D空间点到直线的距离

3D空间的曲率

三维空间有三个基本元素，点，线，面。那么曲率是如何定义的呢？

点的曲率？
线的曲率？
面的曲率？

法曲率

设曲面上的曲线在某一点处的切向量为df(X)，曲面在这一点处的法向量为N。则曲线的法曲率就是曲线在df(X)和N张成的平面上的投影曲线的曲率。
在曲面上取一点E，曲面在E点的法线为z轴，过z轴可以有无限多个剖切平面，每个剖切平面与曲面相交，其交线为一条平面曲线，每条平面曲线在E点有一个曲率半径。不同的剖切平面上的平面曲线在E点的曲率半径一般是不相等的。

主曲率

曲面的每个方向都有法曲率，那么就有最大最小的法曲率，这个最大最小值就是主曲率，对应的曲线在这点的切线方向就是主曲率方向。这两个方向是垂直的。

根据主曲率的不同，可以对曲面分类

高斯曲率

微分几何中，曲面上一点的高斯曲率是该点主曲率κ1和κ2的乘积。
$$K=k_1\ast k_2$$

**它是曲率的内在度量，度量的是曲面内在的弯曲程度。**也即，它的值只依赖于曲面上的距离如何测量，而不是曲面如何嵌入到空间。一个曲面做任何非拉伸的变换都不会改变它的高斯曲率，如平面高斯曲率为0，把它弯曲成圆柱，其高斯曲率也还是为0。

三维网格高斯曲率计算公式：

$$K(v)=\frac{1}{A(v)}(2\pi -\sum _{v_i\in N_1(v)}{\theta }_i)$$

这个公式的几何意义是比较直观的，2*Pi-该点邻域三角形对应的角度和，再除以相应区域的面积，就刻画了该点曲面的弯曲程度。

平均曲率

微分几何中，曲面上一点的平均曲率是该点主曲率κ1和κ2的平均值。
$$K=\frac{k_1+k_2}{2}$$

它度量了曲面在空间中的弯曲程度。比如平面弯曲成圆柱后，其平均曲率就不为0了。

高斯曲率

如何简明地解释曲率（curvature）？
法曲率、主曲率、高斯曲率、平均曲率
三角网格表面高斯曲率的计算与可视化