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300.最长递增子序列

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• 题意：给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

  子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

    示例 1：输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]输出：4解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。示例 2：输入：nums = [0,1,0,3,2,3]输出：4示例 3：输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]输出：1
  

• 思路：

  • 当前下标i的递增子序列长度，和i之前的下标j的子序列长度有关系。

• 动规五部曲
  dp[i]：表示i之前的包括i的，以nums[i]为尾的最长递增子序列的长度
  递归公式：下标i的最长升序子序列长度等于下标j从0到i-1各个位置的最长升序子序列+1的最大值，也就是下标i之前的，即到i-1的最长升序子序列长度+下标i本身（+1）的长度。前提条件是，nums[i]>nums[j], 才会触发递归公式，这样才符合升序。dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);
  初始化：每个以nums[i]为结尾的子序列的长度最短都是它自己本身，也就是1，所以要把dp数组都初始化为1.
  遍历顺序：内外两层遍历都是正序遍历即可
  最后返回的结果：不是dp[nums.length-1]，应为最后一个元素不一定是在最长子序列里面的，所以最后返回的结果应该去遍历每一个dp[i]找到最大的dp[i]来返回。

class Solution {public int lengthOfLIS(int[] nums) {int[] dp = new int[nums.length];//最小的结果就是1int result = 1;//把dp数组都初始化为1；Arrays.fill(dp, 1);for(int i = 0; i < dp.length; i++) {for(int j = 0; j < i; j++) {if(nums[i] > nums[j]) {dp[i] = Math.max(dp[j]+1, dp[i]);}}//找到最长的dp[i]作为结果。result = Math.max(result, dp[i]);}return result;}
}

674.最长连续递增序列

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• 题意：给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

  连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], …, nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

    示例 1：输入：nums = [1,3,5,4,7]输出：3解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。 示例 2：输入：nums = [2,2,2,2,2]输出：1解释：最长连续递增序列是 [2], 长度为1。
  

• 思路：不同的是求连续递增的最长子序列的长度，这样的话i和i-1比较就行了，而不用引入j，让j在0到i-1中遍历得到最长的。

class Solution {public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {//dp[i]代表以下标i为结尾的连续递增的子序列长度int[] dp = new int[nums.length];//初始化，dp[i]最少都应为1Arrays.fill(dp, 1);int res = 1;for(int i = 1; i < nums.length; i++) {//本题求连续增序列，所以就和i-1比较就行了，没必要和j比较，j是从0到i-1遍历。只要i比i-1大，那么最长的长度就得+1，如此一直遍历。     if(nums[i] > nums[i-1]) {dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i-1]+1);}res = Math.max(res, dp[i]);}return res;}
}

718.最长重复子数组

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• 题意：给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。

    示例 1：输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7]输出：3解释：长度最长的公共子数组是 [3,2,1] 。示例 2：输入：nums1 = [0,0,0,0,0], nums2 = [0,0,0,0,0]输出：5
  

• dp数组的含义
  二维dp数组来表示两个数组的状态

  dp[i][j] 表示第一个数组到i-1为结尾，第二个数组到j-1为结尾的两个数组的最长重复子数组的长度。

  为什么要以i-1和j-1为结尾，而不是以i和j为结尾呢？
  因为如果是以i和j为结尾的话，在初始化时，就要对比nums1[0]和nums2的所有元素是否相等，以此来初始化nums[0][j]这一行，同理也要用相同的方法初始化nums[i][0]这一列。

• 递推公式
  当nums1[i-1] == nums2[j-1]时(因为dp数组的定义是表示以i-1和j-1为结尾的，所以这里比较的是i-1和j-1的值相等，这是符合dp数组含义的)，dp[i][j]需要加1，dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1，在[i-1][j-1]的基础上做加1，需要同时回退，然后在此基础上做+1的操作。

• 初始化
  根据dp数组的定义，i和j为0时，dp数组表示以-1为结尾的，这是没有意义的，所以初始化为0，重复的长度如果有了就从0开始往上加，这样才正确。因为遍历时会把后面的初始值覆盖，所以其他初始值为多少都可以，但为方便统一设置为0.
  dp[i][0] = 0
  dp[0][j] = 0

• 遍历顺序
  要遍历两个数组，两层for循环。遍历dp数组，找到最大值返回。

class Solution {public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {int[][] dp = new int[nums1.length+1][nums2.length+1];int res = 0;for(int i = 1; i <= nums1.length; i++) {for(int j = 1; j<= nums2.length; j++) {if(nums1[i-1] == nums2[j-1]) {dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j-1]+1);}res = Math.max(res, dp[i][j]);}}return res;}
}