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Aitken 逐次线性插值

用 Lagrange 插值多项式 $L_n(x)$计算函数近似值时，如需增加插值节点，那么原来算出的数据均不能利用，必须重新计算。为克服这个缺点，可用逐次线性插值方法求得高次插值。

令 $I_{i_1,i_2,...,i_n(x)}$表示函数 $f(x)$关于节点 $x_{i_1},x_{i_2},\cdot \cdot \cdot ,x_{i_n}$的$n-1$ 次插值多项式， $I_{i_k}(x)$是零次多项式，记$I_{i_k(x)}=f(x_{i_k}),i_1,i_2,\cdot \cdot \cdot ,i_n$ 均为非负整数。

一般情况，两个k 次插值多项式可通过线性插值得到$k+1$次插值多项式
$$I_{0,1,\cdots ,k,l}(x)=I_{0,1,\cdots ,k}(x)+\frac{I_{0,1,\cdots ,k-1,l}(x)-I_{0,1,\cdots ,k}(x)}{x_l-x_k}(x-x_k)$$

这是关于节点$x_0,\cdot \cdot \cdot ,x_k,x_l$的插值多项式。

有

$$I_{0,1,\cdots ,k,l}(x_i)=I_{0,1,\cdots ,k}(x_i)=f(x_i)$$
对于 $i=0,1,\cdot \cdot \cdot ,k-1$ 成立.当 $x=x_k$ 时，有
$$I_{0,1,\cdots ,k,l}(x_k)=I_{0,1,\cdots ,k}(x_k)=f(x_k),$$

当$x=x_l$时，有

$$I_{0,1,\cdots ,k,l}(x_l)=I_{0,1,\cdots ,k}(x_l)+\frac{f(x_l)-I_{0,1,\cdots ,k}(x_l)}{x_l-x_k}(x_l-x_k)=f(x_l).$$

这说明插值多项式$$I_{0,1,\cdots ,k,l}(x)=I_{0,1,\cdots ,k}(x)+\frac{I_{0,1,\cdots ,k-1,l}(x)-I_{0,1,\cdots ,k}(x)}{x_l-x_k}(x-x_k)$$满足插值条件，称其为 Aitken 逐次线性插值公式。