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news 2026/4/7 23:55:32

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如何估计池塘里鱼的数目？

老李想估计一下自己池塘里鱼的数量，第一天他捕捞了50条鱼做好标记，然后全放回池塘。过了几天带标记的鱼完全混合于鱼群中，他又去捕捞了168条，发现做标记的鱼有8条。帮老李估算一下池塘里的鱼有多少条。

这是一个典型的用抽样样本来估计总体的统计办法。168条鱼中有8条标记鱼，这样老李可以估计标记鱼占全体鱼的比是8:168。由于总共有50条标记鱼，那么全体鱼的数目就应该是1050。

50×168÷8=1050

简单估计池塘里的鱼群的数目容易产生较大的误差，如果偶然只捞了两条标记鱼，那么池塘里鱼的总数就会被高估，50×168÷6=1400条！这样很轻易就造成了25%的误差。

减少误差的方法

基于这个原因，如果这些鱼经得起折腾的话，更好的办法是放回去再多捕捞几次，取个平均值。

先从池塘中捞出100条鱼分别做上记号，放回池塘，等鱼完全混合后，第一次捞出100条鱼，其中有4条带标记的鱼，第二次又捞出100条鱼，其中有6条带标记的鱼。 $\frac{100} {x}=\frac{4+6}{100+100}$ ，则， $x = 2000$ 。

正态分布近似估算

这是一种基于二项分布理论的方法，但在这里可用正态分布近似估算。计算误差时，只需改变样本方差的算法即可，其他都不变。以《数据化决策》书中的案例为例。

$N=p±z_{\frac{a}{2}}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

其中：
$p$ ，样本比例。
$z_{\frac{a}{2}}$ ，置信区间统计量，例如95%置信区间取1.96，90%取1.645。
$n$ ，样本数量。

标准误差（standard error）通常是指样本统计量（如样本平均值、样本标准差等）的标准差，它反映了统计量的抽样误差。标准误差的计算公式与具体的统计量相关。

统计量的标准误差，当总体标准差未知时，可用样本标准差代替计算，这时计算的标准误差称为估计标准误差（standard error of estimation）。由于实际应用中，总体总是未知的，所计算的标准误差实际上都是估计标准误差，因此估计标准误差就简称为标准误差。同样，当总体比例的方差未知时，可用样本比例的方差代替。计算公式： $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ 。

先从池塘中捞出1000条鱼分别做上记号，放回池塘，等鱼完全混合后，再捞出1000条鱼，其中有50条是做过标记的，这就意味着池塘里大概有5%的鱼做过标记，因此，得出结论是池塘里大约有20000条鱼。

样本方差是用群体内的样本比例乘以非样本比例。换句话说，是将二次抓取时鱼群中做标记的比例(0.05)乘以没做标记的比例(0.95)，结果是 $0.05\times0.95=0.0475$ ，按90%置信区间取1.645。

$1.645\sqrt{\frac{0.0475}{1000}}=0.012$

$0.05±0.012=(3.8\% \sim6.2\%)$

因此湖中鱼的总数是16129~26316，（1000/0.062=16129，1000/0.038=26316）。

对有些人来说，这看似是一个比较大的范围，但假设我们以前的不确定性水平很高，校准估计的范围也只是2000~50000条，所以这一范围已经大为缩小了。如果我们当初放养了5000条鱼，现在仅仅是想知道鱼的总数是增加了还是减少了，那么任何大于6000的数字都表示鱼的总数增加了，超过10000条当然更好。如果把初始范围和相关阈值都考虑在内，不确定性显然已经大为减小，误差也在可接受范围之内。实际上，我们完全可以在第一次抓捕中只抓250条鱼，然后放掉，再抓250条，也就是说抽样量只有前面的1/4。假设做过标记的鱼在第2次重抓时所占比例也是5%左右，那么我们对鱼的总数超过6000条仍然很有信心，也就是说6000仍然在90%置信区间内。

这种通过抽样来揭示全貌的方法特别有用，这种方法已经用于评估美国人口普查局统计遗漏的人数、亚马孙流域未经发现的蝴蝶种类及未知的潜在顾客数量等问题。未能看到整体全貌，并不意味着不能对它进行量化。

从本质上说，抓与重抓是两次独立抽样，比较两次抽样的重合程度，可以估计群体总数。