一、最长公共子序列问题

1、问题概念

• 一个序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得 到的序列。

• 例如："ABCD”和“BDF”都是“ABCDEFG”的子序列。

• 最长公共子序列(LCS) 问题: 给定两个序列X和Y，求X和Y长度最大的公共子字列。

• 例:X="ABBCBDE”Y="DBBCDB”LCS(XY)="BBCD"

• 应用场景:字符串相似度比对

2、问题求解思路

（1）问题思考

• 思考: 暴力穷举法的时间复杂度是多少?

序列中的每一个值都有两种选择，被选择或者不被选择，因此一个长度为n的序列，其子序列为种。求解长度为n和长度为m的序列的公共子序列，对比和个子序列之间的关系，是否相同，因此时间复杂度为O()。

• 思考: 最长公共子序列是否具有最优子结构性质?

有，见解最优子结构

（2）最优子结构

（LCS的最优子结构）：令X=(，，......，）和Y=(，，......，)为两个序列，Z=(，，......，)为X和Y的任意 LCS。

• 如果 = ，则 = = 且是和的一个LCS。

例如：序列ABCD和ABD，其LCS为ABD，此时 = = =D，可见，AB是ABC和AB的LCS。

• 如果，且意味着Z是和Y的一个LCS。

例如：序列ABCD和ABC，其LCS为ABC，此时，即D与C不相等，则为ABC，可见，ABC是ABC和ABC的LCS。

• 如果，且意味着Z是X和的一个LCS。

例如：序列ABC和ACD，其LCS为AC，此时，即D与C不相等，则为AC，可见，AC是ABC和AC的LCS。

示例如下：

要求a="ABCBDAB"与b="BDCABA"的LCS：

• 由于最后一位"B“≠"A”：

• 因此LCS(a,b)应该来源于LCS(a[:-1],b)与LCS(a,b[:-1])中更大的那一个

（3）问题递推式

1）递推式推理说明

结合最优子结构的定理，可以得到以上的图。

举例解析：

• x0都是空列表，y0也是空列表，因此与x0或者y0的LCS一定是0。

• 序列BDC和序列A：C != A，则LCS来源与LCS([BDC],[ ])和LCS([BD],[A])中，图中可看出，两者都为0，即LCS([BDC], [A])的左边和上边的位置。

• 序列BDCA和序列A：A = A，则A一定是两个序列的LCS中的一个元素，且LCS([BDC], [A])加上元素A就是LCS([BDCA], [A])。查看可知，LCS([BDC], [A]) = 0，所以LCS([BDCA], [A]) = 0 + 1(元素A)。

• 剩余的同理。

2）递推式

c[i,j]表示和的LCS长度

二、最长公共子序问题代码实现

1、最长公共子序长度求解

def lcs_length(x,y): # 公共子序列长度，x，y: 字符串、列表等序列m = len(x) # x序列长度n = len(y) # y序列长度c = [[0 for i in range(n + 1)] for _ in range(m+1)] # 创建m行n列二维数组，初始值为0 for i in range(1, m+1):  # 按数组的行求，x0都为0不用求，所以从1开始for j in range(1, n+1): # 数组每行中的遍历，y0都为0，不用求if x[i - 1] == y[j - 1]:  # x[i-1]其实是字符串的i，因为i=0在二维列表中都是0，不求解，但是在字符串中仍需要从索引0遍历c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1 # 递推式else:  # xi！=yic[i][j] = max(c[i-1][j],c[i][j-1])  # 递推式return c[m][n]    # x和y的最后一个元素对比完，二维数组的最后一位print(lcs_length('ABCBDAB', 'BDCABA'))

输出结果

4

2、最长公共子序的序列求解

动态规划+ 回溯算法搭配使用，动态规划求解最优值，回溯法推算出过程的解。

（1）动态规划求解并存储解-代码实现

# 动态规划求解，存储解及解的计算过程
def lcs(x,y): # 求解并存储箭头方向，x，y为字符串、列表等序列m = len(x) # x的长度n = len(y) # y的长度c = [[0 for i in range(n+1)] for _ in range(m+1)] # 二维数组，初始值为0，用于存储长度结果d = [[0 for i in range(n+1)] for _ in range(m+1)] # 二维数组，初始值为0，用于存储箭头方向,1表示左上，2表示上，3表示左for i in range(1,m+1): # 按行遍历二维数组for j in range(1,n+1): # 每行的各数值遍历， c0j和ci0相关的值都为0，所以均从1开始if x[i - 1] == y[j - 1]: # xi=yi的情况，二维数组中i，j=0时，都为0已经确定，但字符串x，y仍需从0开始遍历c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1 # 递推式d[i][j] = 1 # 箭头方向左上方elif c[i][j - 1] > c[i - 1][j]: # 递推式，选择更大的c[i][j] = c[i][j - 1]d[i][j] = 3 # 箭头左边else: # c[i-1][j] >= c[i][j-1]c[i][j] = c[i - 1][j]d[i][j] = 2 # 箭头上方return c[m][n], dc, d = lcs("ABCBDAB", "BDCABA")
for _ in d:print(_)

输出结果：

[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
[0, 2, 2, 2, 1, 3, 1]
[0, 1, 3, 3, 2, 1, 3]
[0, 2, 2, 1, 3, 2, 2]
[0, 1, 2, 2, 2, 1, 3]
[0, 2, 1, 2, 2, 2, 2]
[0, 2, 2, 2, 1, 2, 1]
[0, 1, 2, 2, 2, 1, 2]

（2）回溯算法的应用-代码实现

# 动态规划求解，存储解及解的计算过程
def lcs(x,y): # 求解并存储箭头方向，x，y为字符串、列表等序列m = len(x) # x的长度n = len(y) # y的长度c = [[0 for i in range(n+1)] for _ in range(m+1)] # 二维数组，初始值为0，用于存储长度结果d = [[0 for i in range(n+1)] for _ in range(m+1)] # 二维数组，初始值为0，用于存储箭头方向,1表示左上，2表示上，3表示左for i in range(1,m+1): # 按行遍历二维数组for j in range(1,n+1): # 每行的各数值遍历， c0j和ci0相关的值都为0，所以均从1开始if x[i - 1] == y[j - 1]: # xi=yi的情况，二维数组中i，j=0时，都为0已经确定，但字符串x，y仍需从0开始遍历c[i][j] = c[i - 1][j - 1] + 1 # 递推式d[i][j] = 1 # 箭头方向左上方elif c[i][j - 1] > c[i - 1][j]: # 递推式，选择更大的c[i][j] = c[i][j - 1]d[i][j] = 3 # 箭头左边else: # c[i-1][j] >= c[i][j-1]c[i][j] = c[i - 1][j]d[i][j] = 2 # 箭头上方return c[m][n], d# 回溯算法
def lcs_trackback(x,y): # 最长公共子序列的序列c, d = lcs(x, y) # c长度，d箭头方向i = len(x) # x的长度j = len(y) # y的长度res = [] # 结果列表while i > 0 and j > 0 : # 序列x和y还有值未比对，任何一个序列为0了都不再继续if d[i][j] == 1: # 箭头左上方 ——> 匹配res.append(x[i - 1])  # 二维列表中i=0时，值为0，但是序列x的值是从0开始遍历的i = i - 1 # 位置移到左上位置j = j - 1elif d[i][j] == 2: # 箭头上方->不匹配i = i - 1 # 位置往上移一格else: # dij = 3 ，箭头左向j = j - 1 # 位置往左移一格return "".join(reversed(res))  # 列表翻转，并将列表用''连接成字符串print(lcs_trackback("ABCBDAB", "BDCABA"))

结果输出

BCBA