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概述

机器人操作的定义是通过某种机构使零件和工具在空间运动。需要对机器人各个部分的位置和姿态进行描述，用坐标系来实现对位置和姿态的描述。

1 位置和姿态以及坐标系

一个物体在空间中的位姿和姿态可以通过坐标系来描述。

1.1 描述位置

建立一个坐标系，就可以对空间中任意一个点用坐标来描述，物体的位置同样也以坐标系里的坐标来描述。

1.2 描述姿态

物体的姿态是多变的，要描述姿态就要先确定一个参照物。

1.2.1 用矩阵描述姿态

B坐标系相对A坐标系的旋转矩阵

矩阵里的元素含义为A坐标系和B坐标系轴的单位矢量点乘。
分析
旋转矩阵描述了B坐标系三轴的单位矢量在A坐标系上的位置，下面用XB、YB、ZB分别表示B坐标系三个轴的单位矢量。
第一列XB·XA表示XB矢量在A坐标系的X轴上的投影，即x坐标，XB·YA表示在Y轴的投影，即y坐标，以此类推。

原点重合时，映射公式：

原点不重合时，映射公式：

思路，取一个A坐标系平移到B坐标系原点的中间坐标系，用RP公式转换，然后再将矢量平移过去A。
整理后得到

即用一个矩阵表示旋转+平移的关系。

例如，坐标轴B由坐标系A绕Z轴旋转30°，并且位移到A坐标系的（10，5.0，0.0）处而成。

注：旋转平移矩阵应右乘矢量，即以矩阵的行乘矢量的列。
平移+旋转的关系用齐次变换矩阵表示。

2 算子

用于坐标系间点的额映射的通用数学表达式成为算子。

2.1 平移算子

2.2 旋转算子

绕Z轴旋转算子

2.3 变换算子（旋转+平移）

齐次变换矩阵

2.4 总结

齐次变换矩阵的定义：
1、它是坐标系的描述。确定了坐标系B相对坐标系A的位置和姿态。
2、它是变换映射。
3、它是变换算子。可以由矢量在一个坐标系的描述得到它在另一个坐标系的描述。

3 应用

3.1 混合变换

现有三个坐标系A、B、C，已知C相对于B，B相对于A的变换矩阵，用CP求AP。
先用

求出CP在B的描述BP，再用

求出BP在A的描述。
整合得到。

3.2 逆变换

现有坐标系A和B，已知B相对于A的变换矩阵，求A相对于B的变换矩阵。
直接用逆矩阵。

4 变换方程

变换方程就是用一组闭环的坐标系来联立方程，例如：

D相对于U的变换矩阵可由U->A->D以及U->B->C->D这两个变换路径来表示，用这两个关系来建立方程式就得到了变换方程。

5 位姿表示方式

5.1 欧拉角

欧拉角通过物体绕坐标系XYZ轴旋转的角度来表示物体的位姿。因为绕XYZ轴旋转得出的位姿与顺序有关，旋转顺序不可逆，所以欧拉角根据XYZ的顺序也分为很多种。

5.1.1 ZYX欧拉角

先绕Z轴旋转，再绕Y轴旋转，最后绕X轴旋转。

通过每个轴的旋转矩阵得出位姿的旋转矩阵。

5.1.2 ZYZ欧拉角

先绕Z轴旋转，再绕Y轴旋转，最后绕X轴旋转。