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1 基础知识

并查集支持O(1)时间复杂度实现：

1. 将两个集合合并。
2. 询问两个元素是否在一个集合中。

基本原理：每个集合用一颗树来表示。树根的编号就是整个集合的编号。每个结点存储它的父结点，p[x]表示x的父结点。

问题1：如何判断树根：p[x] == x。
问题2：如何求x的集合编号：while (p[x] != x) x = p[x];。上述为朴素做法，可以通过路径压缩，进行优化。

int find(int x) {if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);return p[x];
}

问题3：如何合并两个集合：px是x的集合编号，py是y的集合编号：p[px] = py。

2 模板

(1)朴素并查集：int p[N]; //存储每个点的祖宗节点// 返回x的祖宗节点int find(int x){if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);return p[x];}// 初始化，假定节点编号是1~nfor (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;// 合并a和b所在的两个集合：p[find(a)] = find(b);(2)维护size的并查集：int p[N], size[N];//p[]存储每个点的祖宗节点, size[]只有祖宗节点的有意义，表示祖宗节点所在集合中的点的数量// 返回x的祖宗节点int find(int x){if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);return p[x];}// 初始化，假定节点编号是1~nfor (int i = 1; i <= n; i ++ ){p[i] = i;size[i] = 1;}// 合并a和b所在的两个集合：size[find(b)] += size[find(a)];p[find(a)] = find(b);(3)维护到祖宗节点距离的并查集：int p[N], d[N];//p[]存储每个点的祖宗节点, d[x]存储x到p[x]的距离// 返回x的祖宗节点int find(int x){if (p[x] != x){int u = find(p[x]);d[x] += d[p[x]];p[x] = u;}return p[x];}// 初始化，假定节点编号是1~nfor (int i = 1; i <= n; i ++ ){p[i] = i;d[i] = 0;}// 合并a和b所在的两个集合：p[find(a)] = find(b);d[find(a)] = distance; // 根据具体问题，初始化find(a)的偏移量

3 工程化

class UnionFind {
public:UnionFind(int n) {this->n = n;p.resize(n);cnt.resize(n);d.resize(n);for (int i = 0; i < n; ++i) {p[i] = i;cnt[i] = 1;d[i] = 0;}}int find(int x) {if (x != p[x]) {int u = find(p[x]);d[x] += d[p[x]];p[x] = u;}return p[x];}void merge(int x, int y) {int px = find(x), py = find(y);if (px != py) {p[px] = py;cnt[py] += cnt[px];		}return;}int size(int x) {//返回x所在集合的大小return cnt[find(x)];}
private:int n;vector<int> p; //存储父结点vector<int> cnt; //存储集合大小，根结点的cnt才有意义vector<int> d; //存储到根结点的距离
};