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数学建模：多目标优化算法

多目标优化

分别求权重方法

算法流程：

1. 两个目标权重求和，化为单目标函数，然后求解最优值

$$\begin{array}{ll}{\min }_x& {\sum }_{i=1}^m{w}_i{F}_i(x)\\ & \\ \text{ s.t. }& g(x)⩽0\\ & \\ & h(x)=0\end{array}$$

clc;clear;%% 指定初始解
x0 = zeros(3,1);
% <线性>不等约束
A = [2,1,3];
B = [6];
% <线性>等式约束
Aeq = [];
Beq = [];
% 变量上下限
LB = zeros(3,1);
UB = 1*ones(3,1);
%% 乘以权重，化为单目标求最优值
% 有几个目标函数，就写几个权重，然后依次相乘再相加
W1 =0.5;
W2 = 0.5;
fun = @(x) (-x(1)^2+x(2)^2-x(2)*x(3)^2)*W1 + (2*x(1)^2-x(2)^3+2*x(2)*x(3))*W2;%% 取得非线性不等式约束函数
nonlcon = @noLinearLimited;
%% 求解fun单目标最优值
[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,nonlcon);objstr=['目标函数最优值：',num2str(-fval)];
disp(objstr)
for i=1:length(x)xstr=['x',num2str(i),'的值为：',num2str(x(i))];disp(xstr)
end%% 非线性不等式约束的表达式，如果有多个，则在C后面加; 补充即可
function [C,Ceq] = noLinearLimited(x)C = [x(1)^2+x(1)*x(2)+x(2)*x(3)-x(2)-6];Ceq = [];
end

Goal attain方法求解

1. 使用Goal attain求解目标最优化问题，可以调用matlab中的函数：fgoalattain

$$\begin{array}{ll}{\min }_{\gamma ,x}\gamma & \\ & \\ \text{ s.t. }& F_i(x)-w_i\gamma ⩽F_i^{\ast }\text{ for }i=1,\dots ,m\\ & \\ & g(x)⩽0\\ & \\ & h(x)=0\end{array}$$

clc;clear;%% 指定初始解
x0 = zeros(3,1);
% <线性>不等约束
A = [2,1,3];
B = [6];
% <线性>等式约束
Aeq = [];
Beq = [];
% 变量上下限
LB = zeros(3,1);
UB = 1*ones(3,1);
%% 分两个（n个）非线性目标的最优值
% 两个目标函数
fun1 = @(x) -x(1)^2+x(2)^2-x(2)*x(3);
fun2 = @(x) 2*x(1)^2-x(2)^3+2*x(2)*x(3);%% fun1的最优化：
nonlcon = @noLinearLimited;
[x1,fval1] = fmincon(fun1,x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,nonlcon);objstr=['目标函数最优值：',num2str(fval1)];
disp(objstr)
for i=1:length(x1)xstr=['x',num2str(i),'的值为：',num2str(x1(i))];disp(xstr)
end% fun2的最优化：
[x2,fval2] = fmincon(fun2,x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,nonlcon);objstr=['目标函数最优值：',num2str(fval2)];
disp(objstr)
for i=1:length(x2)xstr=['x',num2str(i),'的值为：',num2str(x2(i))];disp(xstr)
end
%% 多目标优化
goal = [fval1,fval2]; % 目标是接近于单目标的最优值
func = @(x) [-x(1)^2+x(2)^2-x(2)*x(3);2*x(1)^2-x(2)^3+2*x(2)*x(3)];
W = [1,1];% 自己赋值权重，两个(n个)非线性
[x,fval] = fgoalattain(func,x0,goal,W,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,nonlcon);disp('在两个目标的优化结果为')
disp(func(x))
for i=1:length(x)xstr=['x',num2str(i),'的值为：',num2str(x(i))];disp(xstr)
end%% 非线性不等式约束的表达式，如果有多个，则在C后面加; 补充即可
function [C,Ceq] = noLinearLimited(x)C = [x(1)^2+x(1)*x(2)+x(2)*x(3)-x(2)-6];Ceq = [];
end