[NOIP2006 提高组] 作业调度方案

题目描述

我们现在要利用 $m$ 台机器加工 $n$ 个工件，每个工件都有 $m$ 道工序，每道工序都在不同的指定的机器上完成。每个工件的每道工序都有指定的加工时间。

每个工件的每个工序称为一个操作，我们用记号 j-k 表示一个操作，其中 $j$ 为 $1$ 到 $n$ 中的某个数字，为工件号；$k$ 为 $1$ 到 $m$ 中的某个数字，为工序号，例如 2-4 表示第 $2$ 个工件第 $4$ 道工序的这个操作。在本题中，我们还给定对于各操作的一个安排顺序。

例如，当 $n=3,m=2$ 时，1-1,1-2,2-1,3-1,3-2,2-2 就是一个给定的安排顺序，即先安排第 $1$ 个工件的第 $1$ 个工序，再安排第 $1$ 个工件的第 $2$ 个工序，然后再安排第 $2$ 个工件的第 $1$ 个工序，等等。

一方面，每个操作的安排都要满足以下的两个约束条件。

1. 对同一个工件，每道工序必须在它前面的工序完成后才能开始；

2. 同一时刻每一台机器至多只能加工一个工件。

另一方面，在安排后面的操作时，不能改动前面已安排的操作的工作状态。

由于同一工件都是按工序的顺序安排的，因此，只按原顺序给出工件号，仍可得到同样的安排顺序，于是，在输入数据中，我们将这个安排顺序简写为 1 1 2 3 3 2。

还要注意，“安排顺序”只要求按照给定的顺序安排每个操作。不一定是各机器上的实际操作顺序。在具体实施时，有可能排在后面的某个操作比前面的某个操作先完成。

例如，取 $n=3,m=2$，已知数据如下（机器号/加工时间）：

工件号	工序$1$	工序$2$
$1$	$1/3$	$2/2$
$2$	$1/2$	$2/5$
$3$	$2/2$	$1/4$

则对于安排顺序 1 1 2 3 3 2，下图中的两个实施方案都是正确的。但所需要的总时间分别是 $10$ 与 $12$。

当一个操作插入到某台机器的某个空档时（机器上最后的尚未安排操作的部分也可以看作一个空档），可以靠前插入，也可以靠后或居中插入。为了使问题简单一些，我们约定：在保证约束条件（$1$）（$2$）的条件下，尽量靠前插入。并且，我们还约定，如果有多个空档可以插入，就在保证约束条件（$1$）（$2$）的条件下，插入到最前面的一个空档。于是，在这些约定下，上例中的方案一是正确的，而方案二是不正确的。

显然，在这些约定下，对于给定的安排顺序，符合该安排顺序的实施方案是唯一的，请你计算出该方案完成全部任务所需的总时间。

输入格式

第 $1$ 行为两个正整数 $m$, $n$，用一个空格隔开，
（其中 $m(<20)$ 表示机器数，$n(<20)$ 表示工件数）

第 $2$ 行：$m\times n$ 个用空格隔开的数，为给定的安排顺序。

接下来的 $2n$ 行，每行都是用空格隔开的 $m$ 个正整数，每个数不超过 $20$。

其中前 $n$ 行依次表示每个工件的每个工序所使用的机器号，第 $1$ 个数为第 $1$ 个工序的机器号，第 $2$ 个数为第 $2$ 个工序机器号，等等。

后 $n$ 行依次表示每个工件的每个工序的加工时间。

可以保证，以上各数据都是正确的，不必检验。

输出格式

$1$ 个正整数，为最少的加工时间。

样例 #1

样例输入 #1

2 3
1 1 2 3 3 2
1 2 
1 2 
2 1
3 2 
2 5 
2 4

样例输出 #1

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提示

NOIP 2006 提高组 第三题

解题思路：

当处理这个问题时，我们可以将其类比成一个工厂里的任务分配问题。下面是一个小学生都能理解的解题思路，附带一些简单的代码解释。

1.明确问题： 我们有很多台机器和很多个任务，每个任务都有几个步骤，每个步骤都需要在某个机器上完成，并且需要花一些时间。

2.获取机器和任务数量： 首先，从输入中读取机器和任务的数量。

int numMachines, numJobs;
cin >> numMachines >> numJobs;

3.记录每个任务的信息： 对于每个任务，我们需要知道每个步骤应该在哪台机器上完成，以及需要花多少时间。

struct JobStep {int machineId;int timeCost;
};JobStep jobs[21][21];  // 假设最多有 20 个任务，每个任务最多 20 个步骤

4.获取任务步骤的信息： 针对每个任务和每个步骤，读取它应该在哪台机器上完成以及需要花多少时间。

for (int i = 1; i <= numJobs; i++) {for (int j = 1; j <= numMachines; j++) {cin >> jobs[i][j].machineId;}
}for (int i = 1; i <= numJobs; i++) {for (int j = 1; j <= numMachines; j++) {cin >> jobs[i][j].timeCost;}
}

5.任务列表： 我们会获取一个任务列表，告诉我们任务的执行顺序。

int jobList[501];  // 假设最多有 500 个任务步骤for (int i = 1; i <= numMachines * numJobs; i++) {cin >> jobList[i];
}

6.模拟执行： 对于每个任务步骤，我们会找到合适的时间段，然后更新机器的时间线，并记录任务的完成时间。这段代码比较难以理解所以我把他再次分为几点：

int machineTimeline[21][100001] = {0};  // 机器时间线，用 0 表示空闲，1 表示占用
int jobStep[21] = {0};  // 每个任务完成的步骤
int lastJobTime[21] = {0};  // 每个任务的上次完成时间
int answer = 0;  // 最终答案，所有任务都完成的时间点

6.1：这些数组用于存储我们模拟中需要的信息。machineTimeline 记录每台机器的时间线，jobStep 记录每个任务已经完成的步骤数，lastJobTime 记录每个任务上一次完成的时间，answer 存储最终的答案，即所有任务都完成的时间点。

for (int i = 1; i <= numMachines * numJobs; i++) {int currentJob = jobList[i];jobStep[currentJob]++;int currentMachineId = jobs[currentJob][jobStep[currentJob]].machineId;int currentTimeCost = jobs[currentJob][jobStep[currentJob]].timeCost;int s = 0;for (int j = lastJobTime[currentJob] + 1; ; j++) {if (machineTimeline[currentMachineId][j] == 0) {s++;} else {s = 0;}if (s == currentTimeCost) {for (int k = j - currentTimeCost + 1; k <= j; k++) {machineTimeline[currentMachineId][k] = 1;}if (j > answer) answer = j;lastJobTime[currentJob] = j;break;}}
}

1. 我们通过循环来模拟处理每个任务步骤。currentJob 是当前任务步骤对应的任务编号。
2. 我们递增jobStep[currentJob]，表示当前任务已完成的步骤数。然后，我们获取当前步骤需要在哪台机器上执行，以及需要多少时间。
3. 我们使用 s来记录在机器上找到的可用时间段的长度。我们从上次这个任务完成的时间（lastJobTime[currentJob]）的下一个时间点开始查找。
4. 我们检查 machineTimeline[currentMachineId][j]，如果等于 0，表示这个时间点机器是空闲的，我们递增 s；否则，表示机器正在被占用，我们将 s 重置为 0。
5. 当 s 的值达到当前步骤所需的时间时，说明我们找到了一个满足条件的时间段。我们将从 j - currentTimeCost + 1 到j 的时间段标记为机器被占用。
6. 如果当前时间点 j 大于记录的 answer，我们更新 answer，以便在之后输出。
7. 最后，我们更新 lastJobTime[currentJob]，表示当前任务上一次完成的时间。

注意：s的解释
在这段代码中，s 是用来计算连续空闲时间段的计数器。当我们需要找到一个连续时间段，足够容纳当前步骤所需的时间时，我们使用 s 来记录连续空闲时间段的长度。

在循环中，我们逐步递增 j，检查机器时间线上的每个时间点。如machineTimeline[currentMachineId][j] 表示机器上的这个时间点空闲（值为 0），那么我们递增 s。如果不是空闲的，我们将 s 重置为 0，因为我们需要找到连续的空闲时间段。

当 s 的值等于当前步骤所需的时间时（s == currentTimeCost），说明我们找到了一个足够长的连续空闲时间段，可以在机器上执行当前任务步骤。然后我们会将这个时间段标记为机器被占用，并更新相应的时间和计数器。

所以，s 在这里充当了一个计数器，帮助我们在机器时间线上找到足够长的连续空闲时间段，以满足当前任务步骤的时间要求。

最后：附上完整代码

#include <iostream>using namespace std;int numMachines, numJobs;
int jobList[501];
struct JobInfo {int machineId;int timeCost;
} jobs[21][21];
int machineTimeline[21][100001] = {0};
int jobStep[21] = {0};
int lastJobTime[21] = {0};
int answer = 0;int main() {// 读取机器和任务数量cin >> numMachines >> numJobs;// 读取任务列表for (int i = 1; i <= numMachines * numJobs; i++) {cin >> jobList[i];}// 读取每个任务步骤的机器编号for (int i = 1; i <= numJobs; i++) {for (int j = 1; j <= numMachines; j++) {cin >> jobs[i][j].machineId;}}// 读取每个任务步骤的时间花费for (int i = 1; i <= numJobs; i++) {for (int j = 1; j <= numMachines; j++) {cin >> jobs[i][j].timeCost;}}// 处理每个任务for (int i = 1; i <= numMachines * numJobs; i++) {int currentJob = jobList[i];jobStep[currentJob]++;int currentMachineId = jobs[currentJob][jobStep[currentJob]].machineId;int currentTimeCost = jobs[currentJob][jobStep[currentJob]].timeCost;int s = 0;// 查找机器上的下一个可用时间段for (int j = lastJobTime[currentJob] + 1; ; j++) {if (machineTimeline[currentMachineId][j] == 0) {s++;} else {s = 0;}if (s == currentTimeCost) {// 更新机器时间线以表示当前任务for (int k = j - currentTimeCost + 1; k <= j; k++) {machineTimeline[currentMachineId][k] = 1;}// 使用最新的完成时间更新答案if (j > answer) answer = j;// 更新当前任务的上次完成时间lastJobTime[currentJob] = j;break;}}}// 输出最终答案cout << answer;return 0;
}