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news 2026/4/8 19:27:59

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介绍协向量时，曾说过它们有点像行向量，行向量确实以某种方式代表了协向量，

这里说明一下：

协向量是不变的；协向量组件是可变的。

协向量不依赖坐标系，协向量的组件取决于坐标系。

当我们说协向量具有组件时，我们的意思是？

要记住：协向量是一个从向量到实数的函数，协向量并不存在向量空间V中，协向量只是将V中的向量作为输入，所以我们不能使用V中的基向量来构造协向量，
所以应该怎么做才对？

从V中取两基向量，并引入两个协向量（从向量到实数的函数），
并定义它们的计算结果，

如图：

还记得那个 kronecker Delta 吗。

这些协向量 $\epsilon$ 实际上看起来像一堆线吗？为找到答案，把它们作用到某个向量v上，

仔细看，这些 $\epsilon$ 所做的是：它们在投射矢量分量，是把？

当把 $\epsilon^{i}$ 应用到v中，我们将得到v基向量e1、e2上的组件，
所以，
$\epsilon^{1}$ 看起来就像是：可以帮助我们获得向量v的第一个分量，其中e1就是指向这个分量的方向。

$\epsilon^{2}$ 看起来就像是：可以帮助我们获得向量v的第2个分量，其中e2就是指向这个分量的方向。

这就是协向量的样子（视觉上）

现在我们对向量v应用一些通用的协向量α，α可以是任一协向量

（注：α1=α*e1=一个数，α2也是一个数，上面表示 任意一个协向量α = 数1* $\epsilon^{1}$ + 数2* $\epsilon^{2}$ ）

所以上面我们所作的是：编写了一个通用的协向量α(α可以是任意协向量) 作为 $\epsilon$ 协向量的线性组合，
所以这意味着协向量 $\epsilon$ 是构成了所有协向量集合的基底，
也因为这个原因， $\epsilon$ 被称为 ”对偶基“ ，因为它们是对偶空间V* 上的基底。

以上我们就用了代数的方式写出了一个协向量的表达，

现考虑视觉上，

假设有一个协向量α，一簇在e1、e2为基底的向量空间的线，可通过把α应用到基底e1、e2上来获得α的组件，只需计算穿透的行数，

我们可以把α写成 $\epsilon^{1}$ 、 $\epsilon^{2}$ 的线性组合的方式来表示α。

所以过程就是：从基底向量开始，使用这个定义来获得对偶协向量的基底，然后使用这些我们就可以将任意的协向量表示为对偶基的线性组合。（这是对上面整个过程的描述）

但记住， $\epsilon^{1}$ 、 $\epsilon^{2}$ 并不是唯一的基底，（正如向量空间那般，基底可以变，基底个数不变那般）

因此，我们可以用别的向量开始，如：

并使用以下规则，我们可以定义另一对对偶基，
（规则--就是规定）

同样地，可将任意协向量α表示为 $\tilde \epsilon^{1}$ 、 $\tilde \epsilon^{2}$ 的线性组合。

例子：

已知一个协向量α在旧(对偶)基 $\epsilon^{1}$ 、 $\epsilon^{2}$ 下的线性表示，同时有一对新(对偶)基 $\tilde \epsilon^{1}$ 、 $\tilde \epsilon^{2}$ ，想把协向量α利用新基 $\tilde \epsilon^{1}$ 、 $\tilde \epsilon^{2}$ 做线性表示，

将α应用到新基底，