格中取模运算

定义（格的基本区域） P⊂Rn:{P+x∣x∈L}\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^n : \{ \mathcal{P} + \bm{x} | \bm{x} \in \mathcal{L} \}P⊂Rn:{P+x∣x∈L}是${\mathbb{R}}^n$的一种划分。

用$\mathcal{P}$对格点取模会呈现周期规律，即很多点“值”重复，例如上图中的绿色点为一组、红色点为一组、蓝色点为一组、棕色点为一组等。

1. $(\mathcal{L},+)$是$({\mathbb{R}}^n,+)$的子群；
2. 根据第1点可以构造商群${\mathbb{R}}^n/\mathcal{L}$，念作${\mathbb{R}}^n\mathrm{mod}\mathcal{L}$；
3. 对于${\mathbb{R}}^n/\mathcal{L}$中的元素，与该元素同组的元素，共同构成一个陪集$\mathbf{t}+\mathcal{L}$；
4. 格中每一个基本区域都提供了一套格和陪集的标准表示法。

商群和陪集的概念乍一看很迷惑，但其实很好理解，请参考文章

• 【群论入门】(5): 子群、陪集、正规子群与商群（收录于机器学习的数学基础）
• 商群 - 百度百科

注意： 这里格的基本区域$\mathcal{P}$取半开区域，以上图二维格为例，可以是左边界、下边界为闭边界，而右边界、上边界为开边界，这样格中的所有点就均只属于一个基本区域，即每个陪集在每个基本区域中也只有一个点。

• $\mathcal{P}={\sum }_i{\mathbf{b}}_i\cdot [0,1)\equiv {\mathbb{R}}^n/\mathcal{L}$。

由于对格进行取模，故$\mathbf{t}+\mathcal{L}$又可表示为$({\mathbf{B}}^{\vee })\mathbf{t}(\mathrm{mod}1)$。注意，由于$\mathbf{t}+\mathcal{L}$不在格上，故对偶空间基向量乘以该点结果不会是整数，除以1必然有小数部分，而这个小数部分可以独立地代表不同的商群。（个人疑问： 这里的$\mathrm{mod}$物理意义理解起来感觉怪怪的，为什么是小数部分？推测可能是计算机实际上没有整除这一功能，除以1还是会有小数部分；或者就是为了表示起来简单方便，用模1表示取小数部分）

如何求对偶格基上一篇文章给出了参考答案：格密码学习笔记（五）：对偶格。

CVP和格的陪集

利用格陪集，CVP可以有另外一种定义方式。这里公开课视频讲得有点抽象，我尝试写笔记结合推测解释一下。

定义（CVP） 给定一个格陪集$\mathbf{t}+\mathcal{L}$，在该格陪集中找到距离原点最近的点。

以上图为例，对于CVP给定的点$\mathbf{t}$，利用对偶格基相乘再模1可以获取陪集$\mathbf{t}+\mathcal{L}$中的所有点，即浅粉色的那部分点，找到距离原点最近的浅粉色点（绿色箭头所指），则$\mathbf{t}-\mathbf{e}$即CVP问题的解。

致谢

• Simons格密码公开课官网
  Mathematics of Lattices - Simons Institute for the Theory of Computing
• 哔哩哔哩中英双语视频（字幕组：重庆大学大数据与软件学院 后量子密码研究小组）
  【中英字幕】Simons格密码讲座第1讲：格的数学定义_哔哩哔哩_bilibili
• 其它格密码讲解课程和博文
  Lattice学习笔记03：Dual Lattice（对偶格）
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