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接上文

Diffusion model(一): 公式推导详解

这一节主要总结之前文章的公式结论

1. 已知$x_0$时，sample过程的均值和方差
$$\begin{array}{r}q(x_{t-1}|x_t,x_0)=(x_{t-1};\tilde{\mu }(x_t,x_0),{\tilde{\beta }}_{t}I)\end{array}$$

得到
$$\{\begin{array}{l}{\tilde{\beta }}_t=\frac{1-{\overline{\alpha }}_{t-1}}{1-{\overline{\alpha }}_t}\cdot {\beta }_t\\ \\ {\tilde{\mu }}_t(x_t,x_0)=\frac{\sqrt{{\alpha }_t}(1-{\overline{\alpha }}_{t-1})}{1-{\overline{\alpha }}_t}{x}_t+\frac{\sqrt{{\overline{\alpha }}_{t-1}}{\beta }_t}{1-{\overline{\alpha }}_t}{x}_0\end{array}$$

2. 已知$x_t$以及预测噪声$ϵ$，计算$x_0$

注意这里的噪声是$x_{t-1}$到$x_t$增加的噪声，已知$x_t=\sqrt{{\overline{\alpha }}_t}{x}_0+\sqrt{1-{\overline{\alpha }}_t}{\overline{z}}_t$，得
$$x_0=\frac{1}{\sqrt{{\overline{\alpha }}_t}}{x}_t-\frac{\sqrt{1-{\overline{\alpha }}_t}}{\sqrt{{\overline{\alpha }}_t}}{z}_t$$