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多项分布

简介

多项分布是二项分布的推广，它描述了在 n 次独立试验中，k 种不同事件分别出现次数的离散概率分布。与二项分布只能有两种结果（例如成功/失败）不同，多项分布可以有 k 种（k ≥ 2）及以上的不同结果。

参数

多项分布用三个参数来定义：

n：试验次数，表示重复相同实验的次数。
pvals：一个长度为 k 的列表，其中每个元素表示对应结果出现的概率。pvals 的元素之和必须为 1。
size：输出数组的形状。

公式

多项分布的概率质量函数 (PMF) 给出了在 n 次试验中，k 种结果分别出现 k1、k2、…、kk 次的概率，计算公式为：

P(k1, k2, ..., kk) = n! / (k1! * k2! * ... * kk!) * (p1 ^ k1) * (p2 ^ k2) * ... * (pk ^ kk)

其中：

P(k1, k2, ..., kk)：表示 k 种结果分别出现 k1、k2、…、kk 次的概率。
n!：n 的阶乘，即 n × (n - 1) × (n - 2) × … × 2 × 1。
k1!、k2!、…、kk!：k1、k2、…、kk 的阶乘，分别表示对应结果出现的次数的阶乘。
p1、p2、…、pk：对应结果出现的概率，分别为 pvals 列表中的元素。

生成多项分布数据

NumPy 提供了 random.multinomial() 函数来生成服从多项分布的随机数。该函数接受以下参数：

n：试验次数。
pvals：结果的概率列表。
size：输出数组的形状。

示例：生成掷骰子 10 次的结果，其中每个结果出现的概率相等：

import numpy as npdata = np.random.multinomial(n=10, pvals=[1/6] 6, size=1000)
print(data)

可视化多项分布

由于多项分布可以表示多种结果的出现次数，因此其可视化方式通常取决于结果的个数和想要展示的信息。

条形图：如果结果个数较少，可以使用条形图来直观地显示每个结果出现的次数。
堆积条形图：如果结果个数较多，可以使用堆积条形图来显示不同试验次数下每个结果出现的次数分布。
折线图：如果需要比较不同试验次数下每个结果出现的概率分布，可以使用折线图来绘制每个结果出现的概率随试验次数的变化情况。

练习

1. 模拟 100 次掷骰子的结果，并绘制每个结果出现的次数分布图。
2. 比较不同试验次数下掷骰子结果的分布变化。
3. 模拟一个具有 3 种结果的抽奖活动，每个结果出现的概率分别为 1/3、1/2 和 1/6，并计算每种结果出现 1 次的概率。

解决方案

import seaborn as sns
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 1. 模拟掷骰子结果并绘制分布图
data = np.random.multinomial(n=10, pvals=[1/6] 6, size=1000)
result_counts = data.sum(axis=0)  # 计算每个结果出现的总次数
sns.barplot(x=np.arange(len(result_counts)), y=result_counts)
plt.xlabel("Result")
plt.ylabel("Count")
plt.title("Distribution of Dice Rolls (1000 trials)")
plt.show()# 2. 比较不同试验次数下分布变化
n_values = [10, 50, 100, 500]
for n in n_values:data = np.random.multinomial(n=n, pvals=[1/6] 6, size=1000)result_counts = data.sum(axis=0)sns.barplot(x=np.arange(len))

最后

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