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题目来源
115. 不同的子序列

动态规划

• 1.确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]。

• 2.确定递推公式

这一类问题，基本是要分析两种情况

t[i - 1] 与 s[j - 1]相等
t[i - 1] 与 s[j - 1] 不相等

当t[i - 1] 与 s[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。
一部分是用t[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母，所以只需要 dp[i-1][j-1]。
一部分是不用s[j - 1]来匹配，个数为dp[i][j-1]。

例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s也可以不用s[3]来匹配，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。
当然也可以用s[3]来匹配，即：s[0]s[1]s[3]组成的bag。
所以当t[i - 1] 与 s[j - 1]相等时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i ][j-1];

当t[i - 1] 与 s[j - 1]不相等时，dp[i][j]只有一部分组成，不用s[j - 1]来匹配（就是模拟在s中删除这个元素），即：dp[i][j-1]
所以递推公式为：dp[i][j] = dp[i][j-1];

为什么只考虑 不用s[j - 1]来匹配 这种情况， 不考虑 不用t[i - 1]来匹配 的情况呢。
我们求的是 s 中有多少个 t，而不是 求t中有多少个s，所以只考虑 s中删除元素的情况，即 不用t[i - 1]来匹配 的情况。

• 3.dp数组如何初始化

从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i][j-1]; 和 dp[i][j] = dp[i][j-1]; 中可以看出dp[i][j] 是从左方和左上方推导而来，那么 dp[i][0] 和dp[0][j]是一定要初始化的。

dp[0][j] 表示：以j-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。

那么dp[i][0]一定都是0，s如论如何也变成不了t。

• 4.确定遍历顺序

从递推公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i ][j-1]; 和 dp[i][j] = dp[i ][j-1]; 中可以看出dp[i][j]都是根据左上方和正上方推出来的。
所以遍历的时候一定是从上到下，从左到右，这样保证dp[i][j]可以根据之前计算出来的数值进行计算。

• 5.举例推导dp数组

S = “babgbag”, T = “bag” ，推导dp数组状态如下：

代码实现

class Solution {public int numDistinct(String s, String t) {int[][] dp = new int[t.length()+1][s.length()+1];for(int i = 0;i<=s.length();i++){dp[0][i] = 1;}for(int i=1;i<=t.length();i++){for(int j= 1;j<=s.length();j++){if(t.charAt(i-1) == s.charAt(j-1)){dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i][j-1];}else{dp[i][j] = dp[i][j-1];}}}return dp[t.length()][s.length()];}
}