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【前言】本文以及之后的一些题解都会陆续整理到目录中，若想了解全部题解整理，请看这里：

第0006页 · 寻找重复数

        今天想讨论的一道题在 LeetCode 上评论也是颇为“不错”。有一说一，是道好题，不过我们还是得先理解了它才算真正的好题。这里我们展示一种使用二进制的做法，希望能帮到你哟！

【寻找重复数】给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums ，其数字都在 [1, n] 范围内（包括 1 和 n），可知至少存在一个重复的整数。现在假设 nums 只有一个重复的整数，请返回这个重复的数。要求：你设计的解决方案必须不修改数组 nums 且只用常量级 O(1)的额外空间。

示例1	示例2	示例3
输入：nums = [1, 3, 4, 2, 2]	输入：nums = [3, 1, 3, 4, 2]	输入：nums = [3, 3, 3, 3, 3]
输出：2	输出：3	输出：3

【解题分析】这道题目最难的地方莫过于它的要求：只能使用常量级的额外空间！既然不能用一般的方法，我们便另辟蹊径，对所有数 [1, n] 进行二进制展开，举个例子如下表所示：

	1	3	4	2	2	x	y
第 0 位	1	1	0	0	0	2	2
第 1 位	0	1	0	1	1	3	2
第 2 位	0	0	1	0	0	1	1

        对于第 i 位，我们用 x 记录 nums 中所有数满足二进制形式下第 i 位是 1 的数量有多少。用 y 记录 1 ~ n 中所有数在二进制形式下第 i 位是 1 的数量应该有多少。

        比如说，上表中第 0 位，nums 中的数有 2 个的二进制形式该位为 1，而 1 ~ 4 中该位为 1 的数有 2 个。 

        那么怎么找出重复的数呢？假设重复的数是 k，那么，对于 k 二进制展开后所有为 1 的数位必定会导致 x > y。

        但是这个结论我们还是需要证明一下的。

【证明】

        如果 nums 数组中 target 出现了 2 次，其余的数各出现了 1 次，那么如果 target 的第 i 位为 1，那么 nums 数组的第 i 位 1 的个数 x 恰好比 y 大了 1。如果 target 的第 i 位为 0，那么 x = y。

        如果 nums 数组中 target 出现了 3 次及以上，那么必然有一些数不在 nums 数组中。这个时候就相当于我们用 target 替换了这些数，我们要考虑的就是这样的替换对 x 会产生什么影响：       

        1、如果被替换的数第 i 位为 1，且 target 第 i 位为 1：x 不变，满足 x>y。
        2、如果被替换的数第 i 位为 0，且 target 第 i 位为 1：x 加一，满足 x>y。
        3、如果被替换的数第 i 位为 1，且 target 第 i 位为 0：x 减一，满足 x≤y。
        4、如果被替换的数第 i 位为 0，且 target 第 i 位为 0：x 不变，满足 x≤y。

        总而言之，在替换后，如果 target 的第 i 位为 1，那么始终满足 x > y；如果为 0，那么每次替换后始终满足 x ≤ y。因此，接下来我们只需要按照位次复原这个数就可以了。

 

【源码展示】

class Solution {
public:int findDuplicate(vector<int>& nums) {int n = nums.size(), ans = 0;// 确定二进制下最高位是多少int bit_max = 31;while (!((n - 1) >> bit_max)) {bit_max -= 1;}for (int bit = 0; bit <= bit_max; bit++) {int x = 0, y = 0;for (int i = 0; i < n; ++i) {if (nums[i] & (1 << bit)) {x += 1;}if (i >= 1 && (i & (1 << bit))) {y += 1;}}if (x > y) {ans |= 1 << bit;}}return ans;}
};