图的定义和概念

图的定义

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G（V，E）。
其中，G表示一个图，V 是图 G 中顶点的有穷非空集合，E 是图 G 中边的有穷集合。
图形结构是多对多的关系。
无向图：每条边都是无方向的。
有向图：每条边都是有方向的。

特殊：

当线性表没有数据节点时，线性表为空表。 树中没有节点时，树为空树。 
但是，在图中不允许没有顶点，但是可以没有边。

完全图：任意两个点都有一条边相连。

稀疏图：有很少边或弧的图（e<nlogn）。
稠密图：有较多边或弧的图。

图的术语

网：边/弧带权的图
邻接：

有边/弧相连的两个顶点之间的关系。
存在(Vi，Vj)，则称Vi和Vj互为邻接点;
存在<Vi，Vj>，则称Vi邻接到Vj;， Vj邻接于Vi。

关联/依附：边/弧与顶点之间的关系。
顶点的度:
与该顶点相关联的边的数目，记为TD(v)。
在有向图中,顶点的度等于该顶点的入度与出度之和。
顶点 v 的入度是以 v 为终点的有向边的条数记作ID(v)。
顶点 v 的出度是以 v 为始点的有向边的条数记作 OD(v)。

有向图中顶点的度 = 入度 + 出度。
即 TD(V) = ID(V) + OD(V)。

路径:接续的边构成的顶点序列。
路径长度: 路径上边或弧的数目/权值之和。
回路(环): 第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。
简单路径: 除路径起点和终点可以相同外，其余顶点均不相同的路径。
简单回路(简单环): 除路径起点和终点相同外，其余顶点均不相同的路径。

连通图：在无 (有) 向图G=( V, E) )中，若对任何两个顶点 v、u都存在从v 到 u 的路径，则称G是连通图 (强连通图)

权与网：
图中边或弧所具有的相关数称为权。表明从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。
子图：

连通分量（强连通分量）：
无向图中的连通分量：

有向图中的强连通分量：
有向图G中的极大强连通子图称为G的强连通分量。

极小连通子图：
该子图是G的连通子图，在该子图中删除任何一条连通路径，子图不再连通。
生成树：包含无向图G的所有定点的极小连通子图。
生成森林：对非连通图，由各个连通分量的生成树的集合。

图的类型定义

基本操作P:
Create_Graph(&G,V,VR) : 图的创建操作

初始条件:无。
操作结果: 生成一个没有顶点的空图G。

GetVex(G,v) : 求图中的顶点v的值

初始条件: 图G存在，v是图中的一个顶点。
操作结果: 生成一个没有顶点的空图G

CreateGraph(&G,V,VR)

初始条件: V是图的顶点集，VR是图中弧的集合
操作结果: 按V和VR的定义 构造图G

DFSTraverse(G)

初始条件:图G存在
操作结果:对图进行深度优先遍历

BFSTraverse(G)

初始条件:图G存在
操作结果: 对图进行广度优先遍历

图的存储结构

图的逻辑结构：多对多
图没有顺序存储结构，但是可以用二维数组来表示元素间的关系。
链式存储结构：有数组表示法和邻接表（多重链表）表示法

数组（邻接矩阵）表示法

邻接矩阵的好处：

• 直观、简单、好理解 方便检查任意一对顶点间是否存在边
• 方便找任一顶点的所有“邻接点”(有边直接相连的顶点)
• 方便计算任一顶点的“度”(从该点发出的边数为“出度”，指向该点的边数为“入度”)
  – 无向图:对应行(或列)非0元素的个数
  – 有向图:对应行非0元素的个数是“出度”，对应列非0元素的个数是“入度

无向图的邻接矩阵表示法

完全图的邻接矩阵中，对角元素为0，其余1。

有向图的邻接矩阵表示法

网（即有权图）的邻接矩阵表示法

邻接矩阵的ADT定义

用邻接矩阵表示法创建无向网

在图中查找顶点：

邻接表（链式）表示法

无向图

特点:

• 邻接表不唯一
• 若无向图中有 n 个顶点、e 条边，则其邻接表需 n 个头结点和2e 个表结点。适宜存储稀疏图。
• 无向图中顶点v的度为第i个单链表中的结点数。

有向图

特点:

• 找出度易，找入度难。
• 顶点 v 的出度为第i个单链表中的结点个数。
• 顶点 v 的入度为整个单链表中邻接点域值是i-1的结点个数。
  逆邻接表则相反

图的邻接表存储表示

邻接表操作

ALGraghG;                    //定义了邻接表表示的图G
G.vexum=5; G.arcnum=5;       //图G包含5个顶点，5条边
G.vertices[1].data= 'b'      //图G中第2个顶点是b
p=G.vertices[1].firtarc;     //指针p指向顶点b的第一条边结点
p->adjvex =4;                //p指针所指边结点是到下标为4的结点的边

邻接表表示无向网

(1)输入总顶点数和总边数
(2)建立顶点表，依次输入点的信息存入顶点表中，使每个表头结点的指针域初始化为NULL
(3)创建邻接表，依次输入每条边依附的两个顶点，确定两个顶点的序号和，建立边结点，将此边结点分别插入到vi和vj对应的两个边链表的头部

参考资料：数据结构与算法基础-王卓老师