①、最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

事例：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出：4
解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

思路：

       使用动态规划，dp含义：dp[i]表示数组nums到下标为i时的最长递增子序列，由于涉及到删除数字，故每个数字都应该往前面比较，故在赋值时，应取dp[i]和dp[j] + 1的最大值。

动态规划：

        dp定义及含义：dp[i]表示到nums[i]时的最长递增子序列

        状态转移方程：if(nums[i] == nums[j])   dp[i] = Math.max(dp[i],dp[j] + 1) j为0到i - 1

       初始化：全部填充为1 因为不包括空集

        遍历顺序：外层遍历数组，内层遍历0到i - 1

        dp中的最大值即为答案。

代码：

public int lengthOfLIS(int[] nums) {if(nums.length == 1) return 1;int[] dp = new int[nums.length];Arrays.fill(dp,1);int res = 1;for(int i = 1;i < nums.length;i++){for(int j = 0;j < i;j++){if(nums[i] > nums[j]) dp[i] = Math.max(dp[i],dp[j] + 1);}res = Math.max(dp[i],res);}return res;}

②、最长连续递增序列

给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

事例：

输入：nums = [1,3,5,4,7]
输出：3
解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。
尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。

思路：

        跟上一题类似，只是要求连续，使用动态规划的话，只需要在改动下状态转移方程。上一题中，内层套用for循环遍历取得最大值，本质就是跳过其中的一些数达到删除效果，这题要求连续，则删除for循环，只需与前一个数比较即可。

动态规划：

        dp定义及含义：dp[i]表示到nums[i]时的最长连续递增序列

        状态转移方程：if(dp[i] == dp[i - 1]) dp[i] = dp[i - 1] + 1

       初始化：全部填充为1 因为不包括空集

        遍历顺序：从左到右遍历数组nums

        dp中的最大值即为答案。

代码：

public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {//动态规划// if(nums.length == 1) return 1;// int[] dp = new int[nums.length];// Arrays.fill(dp,1);// int res = 1;// for(int i = 1;i < nums.length;i++){//     if(nums[i] > nums[i - 1]) dp[i] = dp[i - 1] + 1;//     res = Math.max(res,dp[i]);// }// return res;int res = 1;int count = 1;for(int i = 1;i < nums.length;i++){if(nums[i] > nums[i - 1]) count++;else{res = Math.max(res,count);count = 1;}}res = Math.max(res,count);return res;}

③、最长重复子数组

给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。

事例：

输入：nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7]
输出：3
解释：长度最长的公共子数组是 [3,2,1] 。

思路：

        这题涉及到匹配过程，由于有两个数组，长度可能不同，则dp需要两个维度记录。创建dp数组，其中dp[i][j]表示nums1从0到i - 1与nums2从0到j - 1的最长重复子数组，其中dp[i][j]只能从dp[i - 1][j - 1]推导，且第一行和第一列没实际意义，初始化为0。

动态规划：

        dp定义及含义：dp[i][j]表示nums1从0到i - 1与nums2从0到j - 1的最长重复子数组

        状态转移方程：if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1

        初始化：第一行和第一列初始化为0

        遍历顺序：嵌套遍历两个nums数组，其中要注意i、j与数组的对应关系

        dp中的最大值即为答案。

代码：

public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {//二维数组int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];int res = 0;for(int i = 1;i < nums1.length + 1;i++){for(int j = 1;j < nums2.length + 1;j++){if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;res = Math.max(res,dp[i][j]);}}return res;}

与背包问题类似：也可以转化为一维数组，此时dp[j]表示nums2从0到j与nums1的最长重复子数组，由前面的二维数组dp可看出，dp的赋值依赖于前一行或前一列的结果，故从上到下将值覆盖可以将dp简化为一维数组。套用两层for循环，如果匹配，dp[j] = dp[j - 1] + 1，不匹配则赋为0.

动态规划：

        

dp定义及含义：dp[j]表示nums2从0到j - 1与nums1的最长重复子数组

        状态转移方程：if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) dp[j] = dp[j - 1] + 1

        初始化：全部初始化为0

        遍历顺序：嵌套遍历两个nums数组，先遍历nums1(作为行)，再从大到小遍历nums2，避免重复比较。

        dp中的最大值即为答案。

代码：

public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {//二维数组// int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];// int res = 0;// for(int i = 1;i < nums1.length + 1;i++){//     for(int j = 1;j < nums2.length + 1;j++){//         if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;//         res = Math.max(res,dp[i][j]);//     }// }// return res;//一维数组int[] dp = new int[nums2.length + 1];int res = 0;for(int i = 1;i < nums1.length + 1;i++){for(int j = nums2.length;j > 0;j--){if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) dp[j] = dp[j - 1] + 1;else dp[j] = 0;res = Math.max(res,dp[j]);}}return res;}

参考：代码随想录 (programmercarl.com)