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真题 2014.10

第30题
测量某物体的质量9次， 测得平均值 $\overline{x}=15.4$ g, 已知测量数据 $X$ ~ $N(\mu ,0.09)$ (1) 求该物体质量的置信度为0.95 的置信区间； （2）为了使置信度为0.95 的置信区间的长度不超过0.3， 需调整测量次数，问测量次数 n 应不小于多少？(附: $u_{0.025}=1.96$)


解 本题属于 $\mu$ 未知， $\sigma$ 已知， 适用于$u$ 统计量。

μ 的置信度为 1 − α 的置信区间为
（1） 由题意有 1- $\alpha =0.95$ , ${\sigma }_0=0.3$, n=9, 所以置信区间为
$[\overline{x}-u_{\frac{\alpha }{2}}\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}},\overline{x}+u_{\frac{\alpha }{2}}\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{n}}]$
= [15.4 -1.96 * $\frac{0.3}{\sqrt{9}}$, 15.4 + 1.96 * $\frac{0.3}{\sqrt{9}}$]
= [15.204, 15.596]
关于第 (2) 问
根据置信区间， 易知其长度为 $u_{\frac{\alpha }{2}}\frac{2{\sigma }_0}{\sqrt{n}}$, 要使

$u_{\frac{\alpha }{2}}\frac{2{\sigma }_0}{\sqrt{n}}⩽0.3$,
即 1.96 * （2 * 0.3)/3 $⩽0.3$, 解之得 n $⩾15.36$
所以 n 应不小于 16.