1 想法概述

从一张充满噪声的图中不断denoise，最终得到一张clear的图片。为了确定当前图片中噪声占比的大小，同时输入原图片和参数$t$，参数$t$用于标识一张图片中的噪声占比含量。

显然迭代第1次时图片的噪声含量和迭代第999次是不同的，因此需要输入这种信息t来进行标识。

2 实际过程

阶段1 Add Noise

首先，准备好一组确定的参数$\overline{{\alpha }_1},\overline{{\alpha }_2},\dots ,\overline{{\alpha }_T}$，用以表示时间步$t$下样本和噪声的混合情况，$t$越大，噪声占比越高。然后重复以下过程直至收敛：

1. 采样

   1. 从真实样本集中取出一个样本$x_0$

   2. 从$[1,T]$的整数中采样出$t$来表示时间步

   3. 从标准正态分布中采样出噪声$ϵ$

2. 构造带噪声样本$x=\sqrt{\overline{{\alpha }_t}}{x}_0+\sqrt{1-\overline{{\alpha }_t}}ϵ$

3. 将构造样本$x$和时间步$t$一同输入噪声预测器${ϵ}_{\theta }()$，得到预测噪声${ϵ}_{\theta }(x,t)$。

4. 目标函数为${ϵ}_{\theta }(x,t)$和采样出的真实噪声$ϵ$的$MSE$

阶段2 Denoise

3 数学原理

1. 极大似然估计近似等价于最小化KL散度(表示两个分布的相似性)：

2. 对任何分布$q(z|x)$，有：

$$\log P_{\theta }(x)\ge {\int }_{z}q(z|x)\log \frac{P(z,x)}{q(z|x)}dz=E_{q(z|x)}[\log \frac{P(z,x)}{q(z|x)}]$$

3. 所以对DDPM来说：

$$\log P_{\theta }(x)\ge E_{q(x_1:x_T|x_0)}[\log \frac{P(x_0:x_T)}{q(x_1:x_T|x_0)}]$$

4. 结合正态分布的可加性：做N次独立的正态sampling，可能通过一次的sampling就能解决。

5. 对式3不断变换，最后可得（这个式子的过程可以不用看，也并不复杂，但是麻烦，理解结论就好）：

然后再经过一系列的运算求出来$q(x_{t-1|x_t,x_0})$依然是高斯分布，表示首尾$x_0,x_T$固定住，产生$x_{t-1}$的概率，是一个和network无关的分布。而$P(x_{t-1}|x_t)$是由网络决定的，我们不考虑它的variance，只考虑mean。如果我们希望这两个分布越接近越好，那就想办法让两个分布的mean越接近越好。

化简：

实际需要预测出的部分：

4 为什么推理时要额外加入noise

李宏毅老师的一点Guess，生成式任务，概率最大的结果，未必就是最好的结果。人写的文章用词可能更suprising。

5 一些不知道对不对的Summary

• 希望近似$P_{data}(x)$和$P_{\theta }(x)$的分布，而对给定的$x$，使$P_{\theta }(x)$最大化可以转换为使其下界最大化，从而转换为使$E_{q(x_1:x_T|x_0)}[\log \frac{P(x_0:x_T)}{q(x_1:x_T|x_0)}]$最大化。

• 在假设$x_t=\sqrt{{\beta }_t}{x}_{t-1}+\sqrt{1-{\beta }_t}{z}_{t-1}$的前提下，可以推出$x_t=\sqrt{\overline{{\alpha }_t}}{x}_0+\sqrt{1-\overline{{\alpha }_t}}z$

• 从而可以进一步化简$E_{q(x_1:x_T|x_0)}[\log \frac{P(x_0:x_T)}{q(x_1:x_T|x_0)}]$为三项，其余两项与Network无关，可只考虑中间一项，该项由$q(x_{t-1|x_t,x_0})$和$P(x_{t-1}|x_t)$的KL散度之和组成，

• $q(x_{t-1}|x_t,x_0)$表示首尾$x_0,x_T$固定住产生$x_{t-1}$的概率，可求得是一个和network无关的高斯分布，均值可以表示为：

• 而$P(x_{t-1}|x_t)$是由网络决定的，我们不考虑它的variance，只考虑mean。

• 如果我们希望这两个分布越接近越好，那就想办法让两个分布的mean越接近越好。而上式中，仅有$ϵ$需要确定，因此我们希望网络能够预测这个值，从而完成推理。预测出这一项$ϵ$的过程，可以看作为从$x_0$和$x_t$预测出$x_{t-1}$的过程。