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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

思路一：动态规划

int uniquePaths(int m, int n){int dp[m][n];int i,j=0;for(i=0;i<m;++i){for(j=0;j<n;++j){if(i==0||j==0){dp[i][j]=1;}else{dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1];}}}return dp[m-1][n-1];
}

时间复杂度O(mn)，空间复杂度O(mn)

分析：

本题要求从左上角到右下角共有多少条不同路径，可利用动态规划，到每个格子的不同路径等于到左边前一个路径数加上边前一个路径数，最后返回dp[m-1][n-1]

思路二：组合排列

int Combinations(int up, int down){long prod = 1;int left = down - up + 1, right = 1;while(right <= up){prod *= left;prod /= right;left++;right++;}return prod;
}int uniquePaths(int m, int n){int para = (m - 1 < n - 1) ? m - 1 : n - 1;return Combinations(para, m + n - 2);
}

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)

分析：

本题同时可直接用排列组合进行计算，因为机器人需要向下走n-1步，向右走m-1步，即共走m+n-2步中间有n-1步向下走，计算即可得到答案。

比较：

两个思路比较，组合排列的方式可直接计算结果，避免构造数组，在内存方面占优，且组合排列计算的时间复杂度为O(n)优于第一种不断向后递推的思路，运行速度更快。

总结：

本题考察动态规划的应用，每个格子考虑左边前一个和上边前一个的值，或直接使用组合排列的方法得到答案。