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343. 整数拆分

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一、做题感受&第一想法

其实第一反应是回溯……但感觉每层的集合都会很繁琐

二、学习文章后收获

1.动态规划思路

• 动规五要素分析

  • dp和i的定义：dp[i]指把i拆分后最大乘积（所以dp[1]、dp[0]都没有太大意义，因为0和1拆了乘积也是0）
  • 递归公式：dp[i] = max(j * (i - j) , j * dp[i - j]), 1 <= j < i - 1（j<i-1是为什么？因为j = i-1时，dp[j-i]也就是dp[1]为0，没有意义；而 j*(i-j)也就是（i-1）*1，这和 j=1重复了，所以可以省去j = i-1的讨论！）
  • 初始化：dp[0] = 0，dp[1] = 0，dp[2] = 1
  • 遍历顺序：从前往后
  • 手算序列（略）

• 递归公式的说明：求dp[i]可分成两种情况

  • 把 i 拆成 j 和 i - j 两个数，总共两个数。
  • 把 i 拆成 j 和"和为 i - j 的若干个数"，总共大于等于三个数。

class Solution {
public:int integerBreak(int n) {vector<int> dp(n+1,0); //dp[i]:拆分i得到的最大乘积dp[0] = 0;dp[1] = 0; //其实这俩初始化无所谓，因为没有意义dp[2] = 1; // 1*1for(int i = 3;i <= n;i++){for(int j = 1;j < i - 1;j++){dp[i] = max(dp[i],max(j*(i-j),j*dp[i-j]));}}return dp[n];}
};

2.动态规划优化

思路：for循环上的剪枝，剪枝依据是，要想找到乘积最大的拆分方式，需要让拆出来的所有数字尽可能大小相似。所以，对于太大的 j ，可以直接跳过。
故内层for的条件改为 j <= i/2：for (int j = 1; j <= i / 2; j++)

class Solution {
public:int integerBreak(int n) {vector<int> dp(n + 1);dp[2] = 1;for (int i = 3; i <= n ; i++) {for (int j = 1; j <= i / 2; j++) { //here！dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));}}return dp[n];}
};

2.贪心思路

思路：本题也可以用贪心，每次拆成n个3，如果剩下是4，则保留4，然后相乘，但是这个结论需要数学证明其合理性！

此处没有证明，而是直接用了结论。

说明：
if(n == 2) return 1;
if(n == 3) return 2;
if(n == 4) return 4;
剩下的，拆成3的和，直到剩下4或者不足3（也就是前面是一堆3，最后剩下的值<=4即停止，作为最后一个数字）。

class Solution {
public:int integerBreak(int n) {if(n == 1 || n == 0) return 0;if(n == 2) return 1;if(n == 3) return 2;if(n == 4) return 4;int remains = n - 3,result = 3;while(remains > 4){result *= 3;remains -= 3;}result *= remains;return result;}
};

三、过程中遇到的问题

1.多个数取最大

max(a,max(b,c))

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96.不同的二叉搜索树

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一、做题感受&第一想法

• 动规五要素分析
  • dp和i的定义：dp[i]指 i 个节点的二叉搜索树共有多少种树型
  • 递归公式：dp[i] += dp[j] * dp[i-j-1], 0 <= j <= i - 1（左子树 j 个节点，右子树 i - j - 1个节点。总树型为 左子树的树型数 乘以 右子树的树型数）
  • 初始化：dp[0] = 1，dp[1] = 1
  • 遍历顺序：从前往后
  • 手算序列（略）

class Solution {
public:int numTrees(int n) {vector<int> dp(n+1,0);dp[0] = 1;dp[1] = 1;for(int i = 2;i <= n;i++){ //dp[i]for(int j = 0;j <= i - 1;j++){ //左子树：j，右子树：i-j-1dp[i] += dp[j] * dp[i-j-1]; //递推公式}}return dp[n];}
};

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